"Геометрия", Погорелов А.В.
Когда прямая пересекает две параллельные прямые, вокруг точек пересечения образуются пары углов с особыми свойствами. Соответственные и внутренние накрест лежащие углы равны, а внутренние односторонние в сумме дают 180°. Эти закономерности помогают находить неизвестные углы, проверять вычисления и доказывать, что прямые параллельны. Чтобы выбрать нужное правило, сначала определяют положение углов относительно прямых и секущей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. В каждой точке пересечения она образует четыре угла, а всего у двух точек получается восемь углов. Секущая помогает сравнивать углы, возникшие у разных прямых. Чтобы пользоваться свойствами, важно видеть, где именно расположена каждая пара.
Соответственные углы занимают одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут находиться над своей прямой и справа от секущей. Такое положение позволяет сопоставить углы у двух разных точек пересечения. При параллельных прямых эти углы равны.
Внутренние накрест лежащие углы расположены между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Их название подсказывает, что они находятся «напротив» друг друга относительно секущей. Эти углы особенно полезны, когда нужно установить связь между внутренними частями двух пересечений. Если прямые параллельны, такая пара равна.
Внутренние односторонние углы тоже находятся между двумя прямыми, но расположены по одну сторону секущей. Они образуют пару внутри полосы между прямыми. Для них важно не равенство, а сумма: при параллельных прямых она равна 180°. Поэтому по одному такому углу можно найти второй.
Представьте две параллельные горизонтальные прямые и третью прямую, пересекающую обе наклонно. Обозначим прямые буквами a и b, а секущую — c; у двух пересечений появятся восемь углов. Между a и b находятся внутренние углы, а снаружи — внешние. Чтобы выделить пары, сравнивайте положение углов у верхнего и нижнего пересечений: одинаковое, по разные стороны секущей или по одну сторону.
Соответственные углы равны не просто потому, что выглядят одинаково на чертеже. При параллельных прямых равны внутренние накрест лежащие углы; кроме того, вертикальные углы, то есть углы напротив друг друга при пересечении, равны. Соответственный угол можно сопоставить с накрест лежащим, а затем — с равным ему вертикальным углом у другого пересечения. Так равенство одной пары переносится на соответственную пару.
Равенство внутренних накрест лежащих углов можно обосновать через соответственные и вертикальные углы. Один из внутренних углов равен соответственному ему углу при втором пересечении, потому что прямые параллельны. А этот соответственный угол равен нужному внутреннему углу как вертикальный. Значит, исходные внутренние накрест лежащие углы равны.
Внутренние односторонние углы складываются в 180°, потому что один из них равен углу, смежному с другим. Смежными называют два угла с общей стороной, у которых две остальные стороны образуют прямую. Их сумма равна 180°. Следовательно, вместо первого внутреннего угла можно взять равный ему смежный угол и получить развернутый угол вместе со вторым внутренним.
Итак, при пересечении двух параллельных прямых секущей соответственные углы равны, как и внутренние накрест лежащие. Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180°. Первые два правила позволяют перенести величину угла к другой точке пересечения, а третье — найти дополнение до 180°. Перед вычислением нужно убедиться, что прямые действительно параллельны.
| Вид пары углов | Расположение | Соотношение |
|---|---|---|
| Соответственные углы | Одинаковое положение относительно прямых и секущей | Равны |
| Внутренние накрест лежащие углы | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны |
| Внутренние односторонние углы | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме составляют 180° |
Сначала найдите в таблице строку, которая подходит к расположению нужной пары. Затем проверьте, что прямые параллельны: без этого условия приведённое соотношение применять нельзя. После этого используйте либо равенство углов, либо сумму 180°.
Задача 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из внутренних накрест лежащих углов равен 63°. Найдите второй. Нужно определить тип пары, а не искать смежный угол: оба угла находятся между прямыми и по разные стороны секущей. Для такой пары при параллельных прямых действует равенство.
Ответ: 63°. Проверка проста: найденная пара лежит между параллельными прямыми и по разные стороны секущей, поэтому её углы должны быть равны.
Задача 2. Один из внутренних односторонних углов равен 112°. Найдите второй. Оба угла находятся между параллельными прямыми и по одну сторону секущей. Их сумма равна 180°, поэтому неизвестный угол — дополнение известного до 180°.
Ответ: 68°. Проверка: 112° + 68° = 180°, значит, условие о сумме выполнено.
Задача 3. При пересечении двух параллельных прямых секущей один угол равен 4x + 8°, а соответствующий ему — 6x − 22°. Найдите x и величины углов. Сначала используем то, что соответственные углы при параллельных прямых равны. Поэтому выражения для их величин можно приравнять и решить уравнение.
Ответ: x = 15, оба угла равны 68°. Проверка показывает, что выражения дают одинаковую величину, как и должно быть для соответственных углов при параллельных прямых.
Можно перепутать соответственные и накрест лежащие углы, если смотреть только на то, находятся ли они по разные стороны секущей. У соответственных одинаковое положение у двух пересечений, а накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны секущей. Путаница возникает потому, что в обоих случаях сравнивают углы у разных точек. Проверьте себя: сначала отметьте внутренние углы, затем определите сторону секущей для каждого.
Нельзя считать внутренние односторонние углы равными: при параллельных прямых их сумма равна 180°. Ошибка появляется, если запомнить, что «углы при параллельных прямых равны», но забыть, к каким именно парам это относится. Сложите найденные величины: если сумма не равна 180°, рассуждение нужно перепроверить. Равными они будут лишь в частном случае, когда оба угла прямые.
Свойства углов при секущей применимы при условии, что прямые параллельны. На рисунке прямые могут казаться параллельными, но внешний вид не является доказательством. Проверьте, указана ли параллельность в условии или следует ли она из уже доказанного. Если этого нет, сначала установите параллельность по известным признакам.
Внутренними называют только углы, лежащие между двумя прямыми, а не все углы около точек пересечения. Ошибка возможна, если мысленно не выделить область между прямыми и назвать внутренними углы снаружи. Проведите взглядом границы этой области и отберите углы, вершины которых находятся на прямых, а стороны направлены внутрь промежутка. После этого определяйте, накрест они лежащие или односторонние.
Для работы с углами при секущей нужно знать, что такое вертикальные и смежные углы: вертикальные равны, а смежные в сумме дают 180°. Также понадобятся признаки параллельности прямых, которые позволяют обосновать, что прямые параллельны. Тогда свойства углов можно использовать в обратном направлении — для доказательства параллельности. Эти знания помогают решать задачи на нахождение углов и строить геометрические доказательства. Позже они пригодятся при дальнейшем изучении параллельных прямых.
Как отличить соответственные углы от накрест лежащих?
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба находятся сверху от своей прямой и с одной стороны секущей. Накрест лежащие углы расположены между прямыми, но по разные стороны секущей.
Почему внутренние накрест лежащие углы равны?
При параллельных прямых накрест лежащие внутренние углы равны. Это свойство можно объяснить через вертикальные и соответственные углы: вертикальные углы равны, а соответственные углы при параллельных прямых также равны.
Почему внутренние односторонние углы не равны, а в сумме дают 180°?
Один из внутренних односторонних углов равен углу, который смежен с другим внутренним углом. Смежные углы вместе составляют 180°, поэтому такую же сумму имеют и внутренние односторонние углы. Равными они бывают только в особом случае, когда каждый равен 90°.
Можно ли применить эти свойства, если прямые не параллельны?
Нет, равенство соответственных и накрест лежащих углов, а также сумма внутренних односторонних углов 180° относятся к параллельным прямым. Если параллельность не дана, её нужно сначала доказать или использовать другие известные условия.
Как найти неизвестный угол, если известен один из углов при секущей?
Сначала выясните, как расположены углы и параллельны ли прямые. Для соответственных и внутренних накрест лежащих углов используйте равенство, а для внутренних односторонних — сумму 180°. Если угол смежный с известным, вычтите известную величину из 180°.
32. Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей
