§ 7. Параллельность прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые одной плоскости, которые не пересекаются. Если прямые обозначены буквами a и b, пишут a ∥ b и читают: «a параллельна b». Параллельность помогает описывать взаимное расположение прямых и доказывать, что они не встретятся даже при продолжении.

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При этом образуются углы, часть которых лежит между пересекаемыми прямыми. Секущая нужна, чтобы сравнить эти углы и по их величинам установить, параллельны ли прямые.

Накрест лежащие углы — это углы, расположенные между двумя прямыми и по разные стороны от секущей. Их можно узнать по двум условиям сразу: они находятся внутри полосы между прямыми, а секущая разделяет их. Равенство такой пары служит одним из способов доказать параллельность.

Соответственные углы занимают одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут находиться с одной и той же стороны от секущей и каждый — над своей прямой. Если соответственные углы равны, прямые параллельны; поэтому важно сначала правильно определить пару.

Как это устроено

Когда секущая пересекает две прямые, у каждой точки пересечения образуются четыре угла. Их положение относительно прямых и секущей позволяет выделить накрест лежащие, соответственные и внутренние односторонние пары. Величины углов связаны между собой: например, вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Эти известные свойства помогают сравнивать углы в разных точках пересечения.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны. Чтобы понять почему, предположим обратное: прямые всё-таки пересекаются. Тогда вместе с частью секущей они образуют треугольник. Один из его углов можно выразить через угол, смежный с данным; из равенства накрест лежащих углов следует, что сумма двух углов этого треугольника равна 180°. Третий угол тогда должен быть равен нулю, а такого угла у треугольника быть не может. Значит, предположение о пересечении неверно.

Равенство соответственных углов тоже означает, что прямые параллельны. Чтобы свести этот случай к предыдущему признаку, через свойства вертикальных и смежных углов выражают величины углов, расположенных между прямыми. В зависимости от того, какие углы выбраны, нужные углы оказываются равными как вертикальные или дополняют равные до 180° как смежные. Получается равенство накрест лежащих углов, а оно уже доказывает параллельность.

Если внутренние односторонние углы в сумме дают 180°, прямые параллельны. Один из этих углов смежен с углом, который образует с другим внутренним углом пару накрест лежащих. Смежные углы также в сумме равны 180°, поэтому из данного условия следует, что выбранные накрест лежащие углы равны. По признаку равенства накрест лежащих углов прямые параллельны.

Если прямые уже параллельны, при пересечении их секущей накрест лежащие углы равны, как и соответственные. Внутренние односторонние углы при этом дают в сумме 180°. Эти утверждения называют свойствами параллельных прямых: они позволяют находить неизвестные углы, когда параллельность уже установлена. Признаки действуют в обратную сторону и нужны, чтобы параллельность доказать.

Угловые условия параллельности прямых

Сначала определите, какая пара углов дана, а затем проверьте именно её условие. Равенство подходит для накрест лежащих и соответственных углов, а для внутренних односторонних проверяют сумму. Если условие выполнено, можно сделать вывод о параллельности.

Разбор задач

Задача 1. Секущая образует с двумя прямыми накрест лежащие углы 68° и 68°. Определить, параллельны ли прямые.
1. Установим, что углы действительно накрест лежащие: они находятся между прямыми и по разные стороны от секущей.
2. Сравним их величины: 68° = 68°, значит, углы равны.
3. Применим признак параллельности по равенству накрест лежащих углов.
Ответ: прямые параллельны.

Задача 2. Один внутренний угол равен 113°. Найти смежный с ним внутренний односторонний угол и выяснить, можно ли заключить, что прямые параллельны.
1. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому второй угол равен 180° − 113° = 67°.
2. Складываем внутренние односторонние углы: 113° + 67° = 180°.
3. По признаку параллельности по сумме внутренних односторонних углов делаем вывод.
Ответ: смежный угол равен 67°; прямые параллельны.

Задача 3. Внутренние односторонние углы равны 3x + 20° и 5x°. Найти x и доказать параллельность прямых.
1. Для параллельности сумма этих углов должна быть 180°, поэтому составляем уравнение: (3x + 20) + 5x = 180.
2. Складываем подобные слагаемые: 8x + 20 = 180; 8x = 160; x = 20.
3. Подставляем: 3 · 20 + 20 = 80°, а 5 · 20 = 100°. Их сумма равна 180°.
4. Применяем признак по внутренним односторонним углам.
Ответ: x = 20; прямые параллельны.

Типичные ошибки

Нельзя считать прямые параллельными только потому, что на рисунке они выглядят непересекающимися. Рисунок может быть неточным, а прямые при продолжении способны пересечься. Ошибку допускают, доверяя внешнему виду вместо условий задачи. Проверяйте себя: есть ли данное условие или признак, который обосновывает вывод?

Накрест лежащие углы легко спутать с соответственными, потому что обе пары возникают при пересечении прямых секущей. Ошибка меняет нужное условие признака. Перед сравнением отметьте, лежат ли углы между прямыми и по разные ли стороны от секущей; затем проверьте, не занимают ли они одинаковое положение.

Внутренние односторонние углы не требуется приравнивать: для параллельности их сумма должна быть 180°. Их могут ошибочно принять за накрест лежащие или перепутать условие признака. Чтобы проверить себя, найдите оба угла, сложите их величины и сравните результат со 180°.

Признак параллельности и свойство параллельных прямых используют в разных ситуациях. Если параллельность дана, по свойству находят углы; если её нужно доказать, применяют признак. Их смешивают, когда вывод делают без проверки исходных данных. Спросите себя: параллельность уже известна или её ещё предстоит обосновать?

Связь с другими темами

Для работы с параллельными прямыми нужны виды углов, образованных при пересечении прямых, а также свойства вертикальных и смежных углов. Они помогают правильно находить пары и преобразовывать равенства углов.

Признаки параллельности используют в задачах на углы треугольника: сначала доказывают параллельность, а затем применяют свойства углов. Это позволяет получать новые равенства и обосновывать вычисления.

Параллельность связана с ранее изученным понятием перпендикулярности: оба понятия описывают взаимное расположение прямых. Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, а параллельные в одной плоскости не пересекаются.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Равные накрест лежащие углы — признак параллельности прямых.
• Равные соответственные углы — признак параллельности прямых.
• Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, прямые параллельны.
• У параллельных прямых накрест лежащие и соответственные углы равны.
• У параллельных прямых внутренние односторонние углы в сумме дают 180°.