"Геометрия (изд. «Просвещение»)", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Параллельность прямых можно доказать, изучив углы, которые образуются при пересечении этих прямых третьей прямой — секущей. Если соответственные или накрест лежащие углы равны, либо сумма односторонних внутренних углов составляет 180°, прямые параллельны. Эти признаки помогают обосновывать геометрические построения и решать задачи, в том числе когда величины углов заданы выражениями с неизвестным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые обозначены буквами a и b, их параллельность записывают так: a ∥ b. Это обозначение нужно, чтобы коротко записывать вывод в решении и отличать его от утверждения о пересечении прямых.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в двух точках. Она образует углы у каждого места пересечения, и именно расположение этих углов помогает судить о взаимном положении прямых. Сначала полезно найти секущую, иначе легко перепутать нужные углы.
Соответственные углы находятся у разных точек пересечения и занимают одинаковое положение относительно прямых и секущей. Например, оба могут быть расположены сверху от своей прямой и справа от секущей. Такую пару удобно узнавать по одинаковому «углу клетки» у каждого пересечения.
Накрест лежащие углы расположены между двумя прямыми по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы тоже лежат между прямыми, но находятся по одну сторону секущей. Слова «внутренние» указывают на пространство между прямыми, а «накрест» и «односторонние» показывают, по какую сторону от секущей лежат углы.
Когда секущая пересекает две параллельные прямые, она образует пары углов, расположенных определённым образом. Если сравнить соответственные углы, они окажутся равными: при движении вдоль секущей направление одной прямой не меняется, поэтому одинаково расположенные углы сохраняют величину. Это равенство называют свойством параллельных прямых.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых также равны. Это можно объяснить через соответственные и вертикальные углы: один из накрест лежащих углов равен соответствующему углу, а тот, в свою очередь, равен другому накрест лежащему. Односторонние внутренние углы в сумме дают 180°, потому что один из них вместе с углом, равным другому, образует развёрнутый угол, стороны которого лежат на одной прямой.
Признаки параллельности устроены как обратные утверждения к этим свойствам. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны; то же заключение получают при равенстве накрест лежащих углов. Третий признак говорит: если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, то прямые параллельны. В каждом случае известное угловое условие позволяет установить, что прямые не пересекутся.
Почему достаточно хотя бы одного из этих условий? Если бы прямые пересекались, при продолжении образовался бы треугольник, а его углы не могли бы одновременно удовлетворить указанному равенству или сумме. Поэтому выполнение любого одного признака исключает пересечение прямых. Доказывать все три условия для одной задачи не требуется: достаточно проверить то, для которого дана подходящая пара углов.
В решении сначала найди обе точки пересечения с секущей, затем определи вид нужной пары углов. Если это соответственные или накрест лежащие углы, установи их равенство; если односторонние внутренние — проверь сумму 180°. После этого назови применённый признак и запиши вывод о параллельности. Такой порядок помогает не перепутать вычисления и геометрическое обоснование.
| Вид углов | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Соответственные углы | Равны | Прямые параллельны |
| Накрест лежащие углы | Равны | Прямые параллельны |
| Односторонние внутренние углы | В сумме равны 180° | Прямые параллельны |
Пользуйся таблицей после того, как точно определил расположение углов: одинаковое условие подходит не для любой пары. Для соответственных и накрест лежащих углов проверяют равенство, а для односторонних внутренних — сумму. В последнем столбце указано, какой вывод разрешает сделать каждый признак.
При пересечении двух прямых секущей один соответственный угол равен 68°, а другой тоже равен 68°. Требуется доказать параллельность прямых. Здесь значения уже известны, поэтому решать уравнение не нужно: достаточно сопоставить условие с признаком.
Ответ: прямые параллельны, так как их соответственные углы равны.
Один накрест лежащий угол равен 47°, второй выражен как 3x − 8°. Нужно найти x и доказать параллельность. Для такой пары признак требует равенства углов, поэтому выражение приравнивают к известной величине, а не складывают с ней.
Ответ: x = 55/3; прямые параллельны.
Односторонние внутренние углы выражены формулами 2x + 15° и 5x − 30°. Нужно найти x и определить, параллельны ли прямые. Для этой пары требуется не равенство, а сумма 180°, поэтому именно такое уравнение проверяет нужное условие.
Ответ: x = 195/7; прямые параллельны.
Соответственные углы путают с накрест лежащими, если смотрят только на то, что углы расположены у разных пересечений. Чтобы проверить себя, сначала отметь область между прямыми: соответственные углы не обязаны лежать внутри неё, а накрест лежащие лежат внутри и по разные стороны секущей. Сравнивай расположение пары целиком, а не отдельный угол.
Иногда считают, что достаточно равенства любых двух углов. Такую ошибку допускают, когда помнят слово «равны», но забывают, к каким именно парам относится признак. Перед выводом назови тип углов и проверь, что это соответственные либо накрест лежащие.
Для односторонних внутренних углов ошибочно проверяют равенство вместо суммы 180°. Пары могут быть разными по величине, если вместе дают развёрнутый угол. Для самопроверки подставь найденные значения и сложи их: если сумма не равна 180°, третий признак применить нельзя.
Свойства и признаки параллельности тоже смешивают: из свойства при уже параллельных прямых нельзя без проверки получить обратный вывод. Ошибка возникает, когда рассуждение начинают с того, что углы должны быть равны, но не доказывают это по условию. Проверь направление рассуждения: сначала установи угловое условие, затем назови признак и только после этого заключай о параллельности.
Для этой темы нужны знания о видах углов, признаках их равенства, смежных и вертикальных углах, а также о свойствах углов при пересечении прямых. Они помогают находить величины углов и замечать нужную пару. Признаки параллельности пригодятся, когда нужно доказать параллельность сторон или обосновать геометрическое построение. Дальше они используются при изучении свойств параллельных прямых, углов треугольника и геометрических построений.
Как быстро отличить соответственные углы от накрест лежащих?
Соответственные углы находятся в одинаковом положении у двух точек пересечения с секущей: например, оба сверху от своих прямых и справа от секущей. Накрест лежащие углы лежат между прямыми, но по разные стороны секущей.
Почему для односторонних внутренних углов нужна сумма 180°, а не равенство?
При параллельных прямых односторонние внутренние углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, то есть их сумма равна 180°. Они не обязаны быть равными: равенство возможно, например, если каждый угол равен 90°.
Можно ли доказать параллельность по вертикальным углам?
Одного равенства вертикальных углов недостаточно: они равны при пересечении любых двух прямых. Сначала нужно с помощью вертикальных, смежных или других известных углов установить условие одного из трёх признаков параллельности.
Что делать, если нужные углы выражены через неизвестную?
Запиши условие нужного признака: при равных углах составь равенство, а для односторонних внутренних углов — сумму 180°. Реши уравнение, затем проверь полученные величины и сформулируй вывод о параллельности.
Чем признак параллельности отличается от свойства параллельных прямых?
Свойство начинает рассуждение с того, что прямые уже параллельны, и сообщает, какие углы тогда равны или в сумме дают 180°. Признак действует наоборот: по выполненному угловому условию заключают, что прямые параллельны.
7.1. Признаки параллельности прямых
