"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Две прямые, пересечённые третьей, образуют пары углов, по которым можно проверить, параллельны ли эти прямые. Для этого не обязательно заранее знать их расположение: достаточно установить равенство соответственных или накрест лежащих углов либо проверить, что сумма односторонних равна 180°. Эти условия называют признаками параллельности. Они помогают обосновать вывод в задаче, а не просто описать свойства уже параллельных прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые. В каждой точке пересечения возникают четыре угла, а всего при двух пересечениях — восемь. Их расположение относительно секущей и пересекаемых прямых позволяет выделить особые пары. Это нужно, чтобы точно понять, какое условие можно использовать для проверки параллельности.
Соответственные углы занимают одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба угла могут находиться сверху от своей прямой и справа от секущей. Чтобы определить такую пару, сравнивают углы у двух точек пересечения, а не только смотрят, равны ли они. Это название помогает выбрать признак, основанный на равенстве таких углов.
Накрест лежащие углы расположены между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Один угол находится с одной стороны секущей, а другой — с противоположной. Слова «между прямыми» и «по разные стороны» вместе помогают не спутать эту пару с другими. Она важна потому, что равенство накрест лежащих углов позволяет установить параллельность прямых.
Односторонние углы также расположены между двумя прямыми, но находятся по одну сторону секущей. Для их определения сначала проверяют, что оба угла лежат внутри промежутка между прямыми, а затем — что секущая находится с одной стороны от обоих. Эта пара нужна для признака, который проверяет не равенство, а сумму углов. Так расположение углов подсказывает, какое действие выполнить.
Когда секущая пересекает две прямые, углы появляются у обоих пересечений. Чтобы собрать их в пары, нужно учитывать не только величину, но и положение: угол у первого пересечения сопоставляют с углом у второго. Если углы занимают одинаковое место, они соответственные; если оба находятся между прямыми по разные стороны секущей — накрест лежащие; если между прямыми по одну сторону — односторонние. Такое описание позволяет распознавать пары даже при разном наклоне рисунка.
Если соответственные углы равны, прямые параллельны. Причина связана со свойствами углов при параллельных прямых: при параллельности соответственные углы равны, а признак использует это условие в обратном направлении. Равные углы показывают, что направления прямых согласованы так, как это бывает у параллельных прямых. Поэтому мы не просто замечаем одинаковую величину, а делаем обоснованный вывод о расположении самих прямых.
Равенство накрест лежащих углов тоже означает, что прямые параллельны. При параллельных прямых эти углы равны; это можно связать с равенством соответственных углов, используя вертикальные углы при пересечениях. Обратное рассуждение даёт признак: если накрест лежащие углы равны, то и соответственные углы оказываются равными, следовательно, прямые параллельны. Здесь важно проверить, что выбранная пара действительно лежит между прямыми по разные стороны секущей.
Для односторонних углов условие другое: их сумма должна быть равна 180°. При параллельных прямых такие углы дополняют друг друга до развёрнутого угла, поэтому их сумма составляет 180°. Если сумма получилась именно такой, условие признака выполнено и прямые параллельны. Равенство односторонних углов само по себе этот признак не заменяет: проверять нужно именно сумму.
Все три правила — признаки, то есть способы установить параллельность по углам. Это направление рассуждения противоположно свойствам параллельных прямых: в свойстве параллельность уже дана, а из неё находят отношения между углами. В признаке, наоборот, сначала известны отношения углов, а затем делается вывод о прямых. Поэтому в доказательстве сначала называют подходящую пару и проверяют нужное условие, а потом формулируют вывод.
| Пара углов при секущей | Условие | Вывод |
|---|---|---|
| Соответственные углы | Равны | Прямые параллельны |
| Накрест лежащие углы | Равны | Прямые параллельны |
| Односторонние углы | Сумма равна 180° | Прямые параллельны |
Пользуйся таблицей после того, как определил положение углов относительно секущей и двух прямых. Для соответственных и накрест лежащих углов проверяй равенство, а для односторонних — сумму. Если нужное условие выполнено, запиши вывод о параллельности прямых.
При пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны 68°. Нужно доказать, что прямые параллельны. В условии уже названа нужная пара, поэтому остаётся применить признак и записать вывод.
Ответ: прямые параллельны, так как их соответственные углы равны.
Накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Найдём x, а затем докажем параллельность прямых. Поскольку углы равны по условию, выражения для их величин можно приравнять.
Ответ: x = 20; прямые параллельны.
Односторонние углы равны 2x + 20° и 4x + 40°. Требуется найти x и установить, параллельны ли прямые. Для этой пары признак требует, чтобы сумма углов составляла 180°, поэтому выражения нужно сложить.
Ответ: x = 20; прямые параллельны.
Путать признак со свойством параллельных прямых — значит перепутать направление рассуждения. Так бывает, потому что формулировки похожи: обе связывают параллельность и углы. Проверь себя: если параллельность дана и из неё находят углы, это свойство; если условие об углах приводит к выводу о параллельности, это признак.
Можно неверно определить вид пары из-за наклона или расположения рисунка. Ученик иногда ориентируется на то, какие углы кажутся «верхними» или «нижними», хотя рисунок может быть повёрнут. Проверь положение каждой вершины: соответственные занимают одинаковые места, накрест лежащие лежат внутри по разные стороны, односторонние — внутри по одну сторону секущей. Такое сравнение помогает не зависеть от внешнего вида чертежа.
Ещё одна ошибка — считать односторонние углы равными. Это происходит, если запомнить только, что признак связан с двумя углами, но не уточнить условие. Проверь себя: для односторонних нужно сложить величины и получить 180°, а не приравнивать их. Равными в признаках должны быть соответственные или накрест лежащие углы.
Нельзя делать вывод о параллельности по любому одному равенству углов. Равными могут оказаться углы, которые не образуют нужную пару, и тогда признак неприменим. Перед выводом назови вид пары и обоснуй её расположение относительно секущей и прямых. Затем проверь, что для неё выполнено правильное условие: равенство или сумма 180°.
Чтобы разбирать признаки, нужно знать, какие углы образуются при пересечении прямых, а также свойства смежных и вертикальных углов. Эти знания помогают определить положение углов и выразить один угол через другой, если его величина сразу не дана. Признаки пригодятся в задачах, где требуется доказать параллельность прямых. Позже они помогут применять свойства параллельных прямых и находить неизвестные углы.
Как отличить признак параллельности от свойства параллельных прямых?
Свойство начинается с условия, что прямые уже параллельны, и сообщает, какими будут углы. Признак работает наоборот: по условию об углах мы заключаем, что прямые параллельны.
Как определить, какие углы являются соответственными?
Найди места, где секущая пересекает две прямые, и сравни положение углов при этих пересечениях. Соответственные углы находятся в одинаковом положении: например, оба сверху от своей прямой и справа от секущей.
Какие углы должны быть равны, чтобы прямые были параллельны?
Равными должны быть соответственные углы или накрест лежащие углы. Углы нужно правильно определить относительно двух прямых и секущей.
Почему сумма односторонних углов должна быть равна 180°?
Если прямые параллельны, односторонние углы оказываются дополнительными: их сумма равна развёрнутому углу, то есть 180°. Поэтому обратное условие — сумма 180° — позволяет по признаку доказать параллельность.
Можно ли доказать параллельность, если известна только величина одного угла?
Одной величины угла обычно недостаточно: нужно сравнить пару углов или найти их сумму. Но если по известному углу и дополнительным данным можно вычислить второй угол, тогда можно применить один из признаков.
9.6. Признаки параллельности прямых
