"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Когда секущая пересекает две прямые, образуются восемь углов, и их расположение помогает сравнить прямые. Если прямые параллельны, соответственные и накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов составляет 180°. Верны и обратные утверждения: по определённым парам углов можно доказать параллельность. Эти свойства и признаки помогают находить неизвестные углы и обосновывать решения задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Каждая точка пересечения образует четыре угла, поэтому всего получается восемь углов. Положение углов относительно прямых и секущей позволяет объединять их в пары. Это нужно, чтобы точно определить, какое соотношение применять в задаче.
Соответственные углы занимают одинаковое положение при пересечении двух прямых секущей. Например, оба могут быть расположены над своей прямой и справа от секущей. Они находятся у разных точек пересечения. Такое расположение помогает сравнить прямые по равенству углов.
Накрест лежащие углы находятся между двумя прямыми и по разные стороны от секущей. Слово «между» означает, что оба угла лежат во внутренней области, ограниченной прямыми. Если перепутать сторону секущей, получится другая пара углов. Это определение помогает найти углы, равенство которых указывает на параллельность прямых.
Односторонние углы тоже лежат между двумя прямыми, но расположены по одну сторону от секущей. Они образуют пару у разных точек пересечения. Для параллельных прямых такие углы не обязаны быть равными: сравнивают их сумму. Поэтому расположение пары определяет, какое правило использовать.
В каждой из двух точек пересечения секущей с прямыми возникают четыре угла, всего — восемь. Чтобы разобрать их, сначала мысленно отметь область между прямыми: углы в ней называют внутренними, а снаружи — внешними. Затем посмотри, по одну сторону секущей находится пара или по разные. Наконец сравни положение у двух пересечений: одинаковое положение означает соответственные углы, внутреннее положение по разные стороны секущей — накрест лежащие, а внутреннее положение по одну сторону — односторонние.
Пусть две параллельные прямые пересечены секущей. Соответственные углы при этом равны: один можно связать с углом у другого пересечения, используя равенство вертикальных углов. Вертикальные углы равны, потому что их стороны попарно являются продолжениями друг друга. Так, если один соответственный угол вертикален углу, равному другому соответственному, их градусные меры совпадают. Именно параллельность позволяет сначала получить равенство углов у разных пересечений.
Накрест лежащие углы при параллельных прямых тоже равны. Один из них можно сопоставить с соответственным углом при другом пересечении: соответствующие углы равны, а этот соответственный угол образует вертикальную пару со вторым накрест лежащим. Поскольку вертикальные углы равны, накрест лежащие углы равны между собой. Значит, для решения задачи можно применить уже доказанное равенство соответственных или вертикальных углов.
Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Один из них равен углу, соответственному другому одностороннему углу; после такой замены получается пара смежных углов. Смежные углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма составляет 180°. Следовательно, и исходная пара односторонних углов имеет такую сумму, хотя сами углы обычно не равны.
Эти правила можно использовать и в обратном направлении. Если соответственные углы равны или накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны; если односторонние углы в сумме дают 180°, прямые также параллельны. Такие утверждения называют признаками параллельности: по углам устанавливают, как расположены прямые. Важно отличать признак от свойства: свойство выводит соотношение из уже известной параллельности, а признак позволяет доказать саму параллельность.
| Пара углов | Расположение | Соотношение |
|---|---|---|
| Соответственные | У разных пересечений занимают одинаковое положение относительно прямых и секущей. | Равны. |
| Накрест лежащие | Лежат между прямыми по разные стороны от секущей. | Равны. |
| Односторонние | Лежат между прямыми по одну сторону от секущей. | В сумме дают 180°. |
Сначала определи, как расположена пара углов, а затем выбери соотношение из последнего столбца. Таблица применима, если прямые параллельны; если параллельность требуется доказать, соответствующее соотношение используют как признак.
Задача 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 68°. Найдите второй. Здесь параллельность дана, поэтому нужно применить свойство соответственных углов, а не искать смежный угол.
Ответ: 68°.
Задача 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Один из односторонних углов равен 127°. Найдите другой. Односторонние углы не равны по общему правилу: при параллельных прямых их сумма составляет 180°. Поэтому неизвестный угол найдём вычитанием.
Ответ: 53°.
Задача 3. При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 3x + 12° и 5x − 28°. Найдите x и установите, параллельны ли прямые. В условии не сказано, что прямые параллельны, поэтому равенство углов здесь нужно использовать как признак, а не как свойство.
Ответ: x = 20; прямые параллельны.
Путать соответственные и накрест лежащие углы. В обоих случаях углы находятся у разных точек пересечения, поэтому можно ограничиться только этим признаком и ошибиться. Проверь и внутреннее или внешнее положение, и сторону от секущей: соответственные стоят одинаково, накрест лежащие — внутри и по разные стороны.
Считать односторонние углы равными. Иногда равенство переносят на все пары углов при параллельных прямых, хотя односторонние образуют сумму 180°. Проверь себя: если один угол равен 127°, второй должен быть 53°, а не 127°. Их сумма должна дать развёрнутый угол.
Применять свойства без основания. Равенство соответственных или накрест лежащих углов следует из параллельности, а не из одного лишь рисунка. Ошибку допускают, когда считают линии параллельными «на глаз». Проверь условие: параллельность должна быть дана или уже доказана, иначе используй признак.
Неверно находить смежный угол. Смежные углы составляют 180°, но иногда из известного угла вычитают 90°, путая их с дополнительными до прямого угла. Проверь, что стороны углов образуют прямую линию. Например, смежный к 127° угол равен 180° − 127° = 53°.
Для этой темы нужно знать, какие прямые называют параллельными и пересекающимися, а также что такое секущая, вертикальные и смежные углы. Равенство вертикальных углов и сумма смежных углов помогают объяснить свойства углов при параллельных прямых. Сами свойства и признаки пригодятся, когда нужно доказать параллельность или найти неизвестные углы. Позже те же рассуждения помогут изучать углы треугольников и четырёхугольников.
Как отличить соответственные углы от накрест лежащих?
Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба расположены сверху от своей прямой и справа от секущей. Накрест лежащие углы находятся между прямыми, но по разные стороны от секущей.
Почему односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°?
Один из односторонних углов равен углу, который ему соответствует у другой точки пересечения. Этот угол и второй односторонний образуют смежную пару, а сумма смежных углов равна 180°.
Можно ли доказать параллельность прямых по одной паре углов?
Да, если это пара соответственных или накрест лежащих углов и они равны. Также достаточно установить, что сумма односторонних углов равна 180°. Такие утверждения называются признаками параллельности.
Как найти неизвестный угол, если известен один из соответственных?
Если прямые параллельны, соответственные углы равны. Поэтому неизвестный угол имеет ту же градусную меру, что и известный.
Чем свойство параллельных прямых отличается от признака параллельности?
Свойство применяют, когда параллельность уже известна: оно позволяет найти соотношение между углами. Признак работает наоборот: по соотношению углов устанавливают, что прямые параллельны.
9.7. Свойства параллельных прямых и секущей
