"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Секущая пересекает две прямые в разных точках, и вместе они образуют восемь углов. По положению углов можно выделить соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние пары. Если прямые параллельны, некоторые пары равны, а сумма углов другой пары равна 180°. Обратные утверждения помогают доказать параллельность прямых. Эти правила пригодятся, чтобы находить неизвестные углы и обосновывать геометрические решения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. При каждом пересечении образуются четыре угла, а всего — восемь. Секущая помогает сравнивать углы, возникшие у двух прямых. По их расположению можно выяснить, параллельны ли эти прямые.
Соответственные углы занимают одинаковое положение при двух пересечениях секущей с прямыми. Например, оба угла могут лежать выше своей прямой и справа от секущей. Их определяют именно по расположению, а не просто по величине. Эта пара нужна, чтобы применять свойство или признак параллельности.
Внутренние накрест лежащие углы лежат между двумя прямыми и по разные стороны секущей. Они находятся внутри области между прямыми, но «смотрят» в разные стороны от секущей. Если прямые параллельны, такие углы равны. Поэтому по их равенству можно также проверить параллельность.
Внутренние односторонние углы лежат между двумя прямыми по одну сторону секущей. В отличие от накрест лежащих, они находятся с одной стороны от неё. При параллельных прямых их сумма равна 180°. Это свойство позволяет находить неизвестный угол и доказывать параллельность.
Две прямые задают область между собой: углы, обращённые в эту область, называют внутренними, а остальные — внешними. Секущая пересекает обе прямые, поэтому возникает по четыре угла в каждой точке пересечения. Чтобы классифицировать углы, сначала отмечают внутренние, а затем смотрят, по одну или по разные стороны секущей лежит пара. Такой порядок помогает не спутать внутренние углы с внешними и правильно назвать пару.
Если прямые параллельны, секущая пересекает их под одинаковым наклоном. Поэтому одинаково расположенные углы при двух пересечениях имеют одинаковую величину — это соответственные углы. Внутренние накрест лежащие углы тоже равны: они образуют пару углов, которые можно сопоставить при пересечении параллельных прямых. А внутренние односторонние углы вместе составляют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180°. Эти свойства позволяют вычислять углы, когда параллельность уже известна.
Равенство соответственных углов или внутренних накрест лежащих углов работает и в обратную сторону. Если при пересечении двух прямых секущей обнаружилась такая равная пара, прямые должны быть параллельны. Иначе наклон прямых относительно секущей был бы разным, а соответствующие положения углов не давали бы нужного равенства. Это называют признаком параллельности: по углам заключают о расположении прямых.
То же рассуждение работает для внутренних односторонних углов. Если их сумма равна 180°, эти углы составляют развернутый угол так же, как при пересечении параллельных прямых. Значит, прямые параллельны. Чтобы применить признак, важно убедиться, что углы именно внутренние и лежат по одну сторону секущей, а не просто дают в сумме 180°.
Для вычислений удобно сочетать свойства секущей со свойствами углов при пересечении двух прямых. Смежные углы образуют развернутый угол, поэтому их сумма равна 180°, а вертикальные углы равны. Если прямые параллельны, сначала находят углы, равные данному по расположению, а затем используют смежность и вертикальность. Так из одного известного угла можно получить величины всех восьми.
| Вид пары | Где расположены углы | Если прямые параллельны | Признак параллельности |
|---|---|---|---|
| Соответственные | В одинаковом положении у двух пересечений | Равны | Если равны, прямые параллельны |
| Внутренние накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны секущей | Равны | Если равны, прямые параллельны |
| Внутренние односторонние | Между прямыми, по одну сторону секущей | В сумме дают 180° | Если сумма равна 180°, прямые параллельны |
Пользуясь таблицей, сначала определи расположение углов, а уже затем выбери нужное свойство или признак. Свойство применяют, когда параллельность известна; признак — когда её требуется доказать. Равенство или сумма углов имеют смысл только для правильно определённой пары.
Условие. Две прямые пересечены секущей. По схеме пересечений требуется указать соответственные, внутренние накрест лежащие и внутренние односторонние углы. Буквенных обозначений и самого чертежа в условии нет, поэтому названия углов записать нельзя. Можно, однако, точно определить, как выбрать каждую пару на любом таком чертеже.
Ответ. Соответственные углы занимают одинаковое положение, накрест лежащие находятся внутри и по разные стороны секущей, односторонние — внутри и по одну сторону. Для записи номеров или букв углов нужно сопоставить эти правила с конкретной схемой. Называть углы только по равенству величин нельзя.
Условие. Параллельные прямые пересечены секущей, один из восьми углов равен 68°. Требуется найти остальные. Поскольку прямые параллельны, можно использовать свойства соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Также пригодятся смежные и вертикальные углы.
Ответ. Четыре угла равны 68°, а четыре других — 112°. Это следует из того, что вертикальные и соответствующие углы равны, а смежные в сумме дают 180°. Проверка: 68° + 112° = 180°.
Условие. Внутренние накрест лежащие углы равны 3x + 10° и 5x − 30°. Нужно найти x и доказать, что прямые параллельны. Для этой пары равенство является признаком параллельности, поэтому сначала найдём значение переменной. Затем проверим, что величины углов действительно совпадают.
Ответ. x = 20, величина каждого угла — 70°. По признаку равенства внутренних накрест лежащих углов прямые параллельны. Одного решения уравнения недостаточно: для вывода важно также учитывать, что дана именно нужная пара углов.
Ошибка — считать соответственными любые углы одинаковой величины. Их определяют по одинаковому положению у двух пересечений, а равными они могут оказаться и по другим причинам. Такую путаницу допускают, когда сразу смотрят на числа и не изучают схему. Проверь себя: сравни, с какой стороны от каждой прямой и секущей расположен каждый угол.
Накрест лежащие углы иногда называют односторонними и наоборот. Обе пары внутренние, поэтому важно отдельно проверить положение относительно секущей: у накрест лежащих стороны разные, у односторонних — одна и та же. Ошибка возникает, если замечают только то, что углы находятся между прямыми. Мысленно проведи линию секущей и сравни, с какой стороны от неё лежит каждый угол.
Нельзя утверждать, что углы равны при любых двух прямых, пересечённых секущей. Равенство соответственных и внутренних накрест лежащих углов гарантировано, когда прямые параллельны. Эти свойства ошибочно применяют без проверки параллельности. Перед вычислением выясни, дано ли это условие или его ещё предстоит доказать.
Свойство параллельных прямых и признак параллельности — не одно и то же. Свойство позволяет найти углы, если прямые уже параллельны, а признак позволяет доказать параллельность по углам. Их путают, потому что формулировки звучат похоже, но направление рассуждения разное. Проверь, что известно в задаче: параллельность или равенство углов, из которого её нужно вывести.
Для этой темы понадобятся виды углов, а также свойства смежных и вертикальных углов: они помогают вычислять величины после того, как пары определены. Нужно знать определение параллельных прямых и признак параллельности. Эти знания позволяют отличать условие задачи от вывода, который ещё требуется доказать. Правила о секущей используют при доказательстве параллельности, решении задач на углы и изучении свойств треугольников.
Как понять, какие углы являются соответственными?
Сравни положение углов у двух точек пересечения: соответственные углы занимают одинаковое место относительно секущей и каждой из прямых. Например, оба могут находиться сверху от своей прямой и справа от секущей.
Как отличить внутренние накрест лежащие углы от внутренних односторонних?
Сначала найди углы между двумя прямыми — это внутренние углы. Если они находятся по разные стороны секущей, то накрест лежащие; если по одну сторону — односторонние.
Какие углы равны, если две прямые параллельны и пересечены секущей?
Равны соответственные углы и внутренние накрест лежащие углы. Внутренние односторонние углы не обязательно равны: их сумма составляет 180°.
Как доказать параллельность прямых с помощью углов?
Покажи, что соответственные углы равны или что внутренние накрест лежащие углы равны. Ещё один способ — доказать, что сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Как найти все углы, если известен один из восьми?
Если прямые параллельны, сначала найди равные данному углы по свойствам соответственных и внутренних накрест лежащих углов. Смежные с ними углы дополняют их до 180°, а вертикальные углы равны; так можно определить все восемь.
9.5. Пересечение двух прямых секущей
