§ 40. Поворот. Симметрия n-го порядка

Определения и обозначения

Поворот — преобразование плоскости вокруг заданной точки на заданный угол. Каждая точка движется по дуге окружности с центром в этой точке, сохраняя расстояние до центра. Поворот нужен, чтобы строить новое положение точки или фигуры без изменения их формы и размеров.

Центр поворота — точка, которая при повороте остаётся на месте. Обычно её обозначают буквой O, а исходную и полученную точки — A и A₁. Знание центра позволяет определить окружность движения любой точки.

Угол поворота — угол, на который перемещается каждая точка фигуры; вместе с его величиной задают направление: по часовой стрелке или против неё. Например, поворот на 90° против часовой стрелки переводит луч OA в новый луч, расположенный слева от него при обычном рисунке. Эти данные однозначно задают положение образа.

Симметрия n-го порядка — свойство фигуры совмещаться с собой при повороте вокруг некоторой точки на угол 360°/n. Число n показывает, сколько одинаковых положений фигура занимает за полный оборот. Например, для правильного шестиугольника n = 6.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки A при повороте вокруг O, сначала проводят луч OA. Затем от него откладывают заданный угол в указанном направлении и получают новый луч. На новом луче отмечают точку A₁ так, чтобы расстояние OA₁ было равно OA: точка движется по окружности с центром O, поэтому иначе построить правильный образ нельзя.

При повороте каждая точка движется вокруг одного центра на один и тот же угол. Две точки при этом оказываются на одинаково повернутых лучах, а расстояния от центра до них сохраняются. Поэтому расстояние между любыми двумя точками не меняется, а вместе с ним сохраняются длины отрезков и величины углов.

Чтобы получить образ фигуры, нужно повернуть каждую её точку на одинаковый угол вокруг одного центра. Для многоугольника достаточно построить образы его вершин, потому что стороны определяются концами этих отрезков. После этого образы вершин соединяют в том же порядке, что и исходные вершины, иначе получится другая фигура.

Если фигура имеет симметрию n-го порядка, полный оборот в 360° разбивается на n равных поворотов. После каждого такого поворота фигура занимает положение, совпадающее с исходным, поэтому за один оборот получается n совпадений. Между ними находятся равные углы 360°/n.

Для определения порядка сначала ищут наименьший положительный угол, при котором фигура совмещается сама с собой. Обозначим его α, тогда полный оборот содержит 360°/α таких поворотов. Поэтому порядок симметрии находят по формуле n = 360°/α, а не по любому случайному углу совмещения.

Поворот и симметрия n-го порядка

В таблице сначала найдите, что задаётся при обычном повороте, а затем сравните это с особым свойством симметричной фигуры. Если требуется порядок симметрии, используйте строку о наименьшем угле и разделите 360° на его величину.

Если нужно построить образ, ориентируйтесь на центр, угол и направление поворота. Если нужно доказать симметрию, проверяйте, возвращается ли фигура к совпадению после равных поворотов.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точка A находится на расстоянии 3 см от точки O. Постройте образ A при повороте вокруг O на 90° против часовой стрелки. Нужно сохранить расстояние до центра и правильно выбрать направление.

1. Проведите луч OA и измерьте или примите его длину равной 3 см.
2. С помощью транспортира отложите от луча OA угол 90° против часовой стрелки.
3. На новом луче отметьте точку A₁ так, чтобы OA₁ = 3 см.

Ответ: точка A₁ лежит на новом луче, образующем с OA угол 90° против часовой стрелки, и OA₁ = 3 см.

Задача 2

Условие: постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг точки O на 60° по часовой стрелке. Все вершины должны пройти одно и то же движение, иначе стороны образа не будут соответствовать исходным сторонам.

1. Проведите лучи OA, OB и OC.
2. От каждого луча отложите угол 60° по часовой стрелке.
3. На полученных лучах отметьте A₁, B₁ и C₁ так, чтобы OA₁ = OA, OB₁ = OB и OC₁ = OC.
4. Соедините A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁.

Ответ: треугольник A₁B₁C₁ — образ треугольника ABC при данном повороте.

Задача 3

Условие: правильный шестиугольник поворачивают вокруг его центра до первого совмещения с самим собой. Найдите наименьший угол и порядок симметрии. У правильного шестиугольника шесть одинаково расположенных вершин, поэтому соседняя вершина переходит на место предыдущей.

1. Полный оборот равен 360°, а шесть промежутков между соседними вершинами равны.
2. Вычислите наименьший угол: 360° : 6 = 60°.
3. Найдите порядок: 360° : 60° = 6.

Ответ: наименьший угол совмещения равен 60°, порядок симметрии равен 6.

Типичные ошибки

Иногда считают, что при повороте расстояние от точки до центра меняется. Так происходит, если воспринимать движение как перемещение по прямой, а не по окружности. Проверьте себя: для каждой точки должно выполняться равенство OA₁ = OA.

Другая ошибка — отложить угол в противоположном направлении. Её допускают, когда не учитывают слова «по часовой стрелке» или «против часовой стрелки». Проверьте стрелкой направление движения и сравните положение нового луча с исходным.

Некоторые поворачивают только одну вершину или используют для разных точек разные углы. Фигура при повороте преобразуется целиком вокруг одного центра, поэтому у всех точек должен быть общий угол. Проверьте, что для каждой вершины построены образ и равное расстояние до центра.

Порядок симметрии иногда путают с наименьшим углом поворота. Угол измеряется в градусах, а порядок показывает число совпадающих положений за полный оборот. Для проверки вычислите 360°/α и убедитесь, что получили целое число.

Связь с другими темами

До изучения поворота нужно уметь измерять и откладывать углы, строить окружность заданного радиуса и пользоваться транспортиром. Эти навыки нужны для построения нового луча и образа точки.

Поворот относится к движениям плоскости. Как и другие такие преобразования, он сохраняет длины и углы, поэтому позволяет сравнивать фигуру с её образом.

Симметрия пригодится при изучении правильных многоугольников, геометрических преобразований и орнаментов. Равномерные повороты помогают объяснить повторение элементов в узорах.

Что запомнить

• При повороте заданы центр, угол и направление.
• Центр поворота остаётся на месте.
• Расстояние каждой точки до центра сохраняется.
• Все точки фигуры поворачиваются на один и тот же угол.
• Для симметрии n-го порядка наименьший угол совмещения равен 360°/n.
• Порядок симметрии показывает, сколько раз фигура совмещается с собой за полный оборот.