"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Осевая симметрия — преобразование, при котором точки отражаются относительно прямой, словно в зеркале. Эта прямая называется осью симметрии: она проходит посередине между каждой точкой и её образом и перпендикулярна отрезку, который их соединяет. При отражении сохраняются расстояния, длины и углы, поэтому фигура не меняет форму и размер. Эти свойства помогают строить образы фигур и проверять, есть ли у них оси симметрии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Осевая симметрия — преобразование плоскости, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно заданной прямой. Иными словами, фигуру отражают относительно этой прямой, как в зеркале. Это преобразование позволяет сопоставлять исходную фигуру и её отражение.
Ось симметрии — прямая, относительно которой выполняется осевая симметрия. Её обычно обозначают буквой, например l. Знание оси необходимо для построения образов точек и фигур: положение образа зависит именно от того, относительно какой прямой выполняется отражение.
Симметричные точки — точки, для которых ось симметрии является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Это условие помогает точно построить образ точки и проверить правильность построения.
Симметричная фигура — фигура, которая при осевой симметрии переходит сама в себя или в равную ей фигуру. В первом случае отражённая фигура полностью совпадает с исходной, во втором имеет с ней одинаковые форму и размер. Понятие помогает находить оси симметрии и описывать свойства фигур.
Чтобы построить точку A₁, симметричную точке A относительно прямой l, сначала проведём через A перпендикуляр к l. Образ должен лежать на этой прямой: при отражении точка не смещается вдоль оси, а переходит на другую сторону по кратчайшему пути, перпендикулярному оси. Затем от основания перпендикуляра откладываем в другую сторону такое же расстояние, какое отделяет A от оси. Тогда l проходит через середину AA₁ под прямым углом, а значит, является серединным перпендикуляром к этому отрезку.
Если точка уже лежит на оси, расстояние от неё до оси равно нулю. При отражении ей не нужно перемещаться ни в одну из сторон, поэтому её образ — она сама. Это свойство удобно использовать, когда ось проходит через вершины или другие точки фигуры: такие точки можно сразу оставить на месте.
При симметрии отрезка достаточно построить образы его концов и соединить их. Прямая переходит в прямую: образами двух её точек задаётся новая прямая. Угол переходит в равный ему угол, поскольку его стороны отражаются вместе с вершинами. Окружность переходит в окружность того же радиуса: центр отражается в образ центра, а расстояния от центра до точек окружности сохраняются. Для многоугольника отражают все вершины и соединяют их в прежнем порядке.
Почему сохраняются длины и углы? Отражение не меняет расстояние между точками: если отрезок соединяет две точки, то после отражения обе точки перемещаются согласованно, а отрезок становится его зеркальным образом. Поэтому длины отрезков остаются прежними. Угол также сохраняется, потому что отражённые стороны наклонены друг к другу так же, как исходные; меняется их расположение относительно оси, но не величина угла. Значит, фигура сохраняет форму и размер.
Чтобы распознать ось фигуры, представим, что складываем её по выбранной прямой или отражаем одну часть на другую. Если части совпадают целиком, прямая является осью; если не совпадают, одного лишь деления фигуры на две части недостаточно. Удобно проверить соответствие характерных точек: вершин, середины сторон, центра. Число осей определяют, проверяя разные возможные прямые, а не предполагая заранее, что ось только одна.
| Объект | Его образ при осевой симметрии | Что сохраняется |
|---|---|---|
| Точка на оси симметрии | Та же точка | Положение точки |
| Точка вне оси симметрии | Точка по другую сторону оси на том же перпендикуляре | Расстояние до оси |
| Отрезок | Отрезок между образами концов | Длина отрезка |
| Прямая | Прямая | Прямолинейность |
| Угол | Равный ему угол | Величина угла |
| Окружность | Окружность с отражённым центром | Радиус |
| Фигура с осью симметрии | Та же фигура | Форма и размер |
Сначала найдите строку, соответствующую исходному объекту, а затем посмотрите, каким будет его образ. Последний столбец показывает, какое свойство можно использовать при построении или доказательстве. Например, чтобы подтвердить равенство отрезка и его образа, достаточно опереться на сохранение расстояний.
Задача 1. Построить точку A₁, симметричную точке A относительно прямой l. Нужно получить не просто точку на другой стороне оси, а такую, чтобы l была серединным перпендикуляром к AA₁. Поэтому используем перпендикуляр и равные расстояния.
Ответ: точка A₁, построенная таким образом, симметрична A относительно l. Проверка подтверждает, что ось проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему.
Задача 2. Построить образ треугольника ABC при симметрии относительно прямой l и доказать, что новый треугольник равен исходному. Поскольку преобразуется вся фигура, сначала нужно правильно отразить каждую вершину, а затем восстановить стороны. Для доказательства равенства сравним соответствующие стороны.
Ответ: образ — треугольник A₁B₁C₁, равный ABC. В доказательстве использованы сохранение расстояний и признак равенства треугольников по трём сторонам.
Задача 3. Определить все оси симметрии ромба, прямоугольника и равностороннего треугольника. Проверяем не просто, делит ли прямая фигуру на части, а совмещаются ли эти части отражением. Свойства диагоналей и углов позволяют обосновать результат.
Ответ: у ромба две оси — диагонали; у прямоугольника две оси через середины противоположных сторон; у равностороннего треугольника три оси, проходящие через вершины и середины противоположных сторон.
Иногда отрезок от точки к её образу проводят не перпендикулярно оси. Так происходит, если помнить только о равенстве расстояний, но забыть о направлении отражения. Проверьте, что соединяющая точки прямая образует с осью прямой угол; без этого ось не будет серединным перпендикуляром.
Другая ошибка — поместить образ на той же прямой, но отложить расстояние не с другой стороны оси или не поровну. Одной коллинеарности недостаточно: ось должна проходить ровно посередине между точкой и её образом. Проверьте, что расстояния от обеих точек до оси равны и точки находятся по разные стороны от неё.
Можно ошибочно назвать осью любую прямую, которая делит фигуру на две части. Такое решение принимают, когда проверяют только наличие двух частей, а не их совпадение после отражения. Проверьте несколько соответствующих точек: если вершины и границы частей не переходят друг в друга, оси симметрии нет.
Иногда забывают, что точка на оси не перемещается. Это случается, если пытаются отразить все вершины одинаковым построением, не учитывая положение каждой из них. Если вершина лежит на оси, её образ совпадает с ней; проверить это можно по нулевому расстоянию до оси.
Для построений понадобятся перпендикуляр к прямой, середина отрезка и серединный перпендикуляр: через них задаётся положение симметричной точки. Свойства равных фигур помогают доказать, что исходная фигура и её образ имеют одинаковые размеры и форму. Дальше осевая симметрия встречается при изучении движений плоскости, при исследовании симметрии графиков и в задачах на построение геометрических фигур. Умение проверять отражение помогает отличать настоящую симметрию от простого деления фигуры на части.
Почему ось симметрии должна быть серединным перпендикуляром?
При отражении исходная точка и её образ находятся на одинаковом расстоянии от оси, но по разные стороны от неё. Поэтому ось проходит через середину соединяющего их отрезка и перпендикулярна ему. Такая прямая и называется серединным перпендикуляром.
Может ли точка на оси симметрии перейти в другую точку?
Нет, она переходит сама в себя. Расстояние от такой точки до оси равно нулю, поэтому отражать её в другую точку некуда.
Как построить симметричную точку без измерения расстояния линейкой?
Циркулем можно провести окружность с центром в исходной точке, выбрав радиус больше расстояния до оси. Две точки пересечения окружности с осью равноудалены от исходной точки и её образа; построив серединный перпендикуляр к отрезку между ними, найдём образ исходной точки как точку пересечения этого перпендикуляра с прямой, проходящей через исходную точку перпендикулярно оси.
Всегда ли у фигуры есть только одна ось симметрии?
Нет. Например, у прямоугольника две оси симметрии, а у равностороннего треугольника — три. У некоторых фигур осей нет, а у круга их бесконечно много: осью будет любая прямая, проходящая через его центр.
Чем осевая симметрия отличается от центральной симметрии?
При осевой симметрии точки отражаются относительно прямой, а при центральной — относительно точки, которая становится серединой отрезка между исходной точкой и её образом. При отражении относительно прямой точки оси остаются на месте; при центральной симметрии на месте остаётся только центр.
§ 41 0севая симметрия
