"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Это понятие помогает сравнивать фигуры и измерять их не по длине сторон, а по числу квадратных единиц, которые их покрывают. Чтобы найти площадь, выбирают единицу измерения и считают, сколько таких единиц помещается в фигуре. Фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь, а площадь составной фигуры можно получить, сложив площади её частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Например, лист бумаги большей площади покрывает больше плоскости, чем маленькая карточка. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур не только по их длине или внешнему виду.
Единица площади — площадь квадрата, выбранного за меру. Измерить площадь значит выяснить, сколько таких квадратов укладывается внутри фигуры. Указывать единицу необходимо, иначе число не сообщает, какие именно квадраты посчитаны и насколько велика фигура.
Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см. Его обозначают см²; верхняя цифра 2 показывает, что речь идёт о квадрате единицы длины. Если за единицу измерения выбран такой квадрат, результат записывают в квадратных сантиметрах.
Равновеликие фигуры — фигуры с равными площадями. Они могут быть устроены по-разному: одна может быть вытянутой, а другая — более широкой. Это понятие позволяет сравнивать фигуры по занимаемому месту, не требуя совпадения их формы.
Сравнить площади можно наложением фигур: если они лежат на плоскости одна на другой, видно, какая выступает за границы другой. Когда одна фигура целиком помещается внутри второй, она занимает не больше места, чем вторая. Но наложение обычно не показывает, на сколько именно больше одна площадь, поэтому для точного сравнения нужна общая мера.
Для измерения фигуру покрывают квадратами одинакового размера — единичными квадратами. Их можно мысленно представить или увидеть на клетчатой бумаге, а затем посчитать. Такой способ работает, потому что каждый квадрат вносит в общую площадь одну и ту же долю. Если часть клетки остаётся снаружи, её нельзя просто считать целой: неполные клетки нужно объединять или учитывать по принятому разбиению.
Площадь можно выражать в разных единицах, но число зависит от размера выбранного квадрата. В одном квадратном дециметре помещается 100 квадратов со стороной 1 см, поэтому 1 дм² = 100 см². Значит, одна и та же фигура имеет численное значение 1 в дм² и 100 в см², если её площадь равна 1 дм². Перед вычислением полезно привести все площади к одной единице.
Фигуры, составленные из одинаковых частей, имеют равные площади, даже если части расположены по-разному. Причина в том, что при перестановке частей не меняется их общее количество и ни одна часть не исчезает и не добавляется. Этот приём помогает сравнить фигуры, которые неудобно накладывать друг на друга, например фигуры разной формы.
Составную фигуру можно разделить на более простые части, если они вместе покрывают её целиком и не перекрываются. Тогда площадь всей фигуры равна сумме площадей частей: каждый участок учитывается ровно один раз. Такое разбиение удобно, когда отдельные части проще измерить или посчитать, чем исходную фигуру целиком.
| Понятие или действие | Что означает | Как определить или применить |
|---|---|---|
| Площадь фигуры | Размер части плоскости, занимаемой фигурой | Сравнить фигуры или измерить их единичными квадратами |
| Единица площади | Площадь квадрата, выбранного за меру | Указать выбранную единицу и посчитать, сколько таких квадратов покрывает фигуру |
| Квадратный сантиметр | Площадь квадрата со стороной 1 см | Записывать как см² |
| Сравнение площадей | Определение, какая фигура занимает больше места | Использовать наложение, единичные квадраты или разбиение на одинаковые части |
| Площадь составной фигуры | Сумма площадей её неперекрывающихся частей | Разбить фигуру на части и сложить их площади |
Сначала найдите в таблице нужное понятие, затем проверьте, какой способ действия с ним связан. При вычислениях следите, чтобы площади были выражены в одинаковых единицах. Если результат описывает площадь, записывайте квадратную единицу, например см².
Условие. На клетчатой бумаге изображены две фигуры, одна из которых целиком помещается внутри другой. Нужно сравнить их площади. Точное число клеток в условии не указано, поэтому ответ будет сравнением, а не вычислением разности.
Ответ: площадь внутренней фигуры меньше площади внешней или равна ей, если их границы совпадают.
Условие. Фигура занимает 18 клеток, площадь каждой клетки равна 1 см². Требуется найти площадь фигуры. Поскольку каждая клетка — одна и та же единица площади, достаточно определить их общее количество.
Ответ: 18 см².
Условие. Составная фигура разбита на две неперекрывающиеся части площадью 12 см² и 9 см². Нужно найти площадь всей фигуры. Так как части вместе составляют фигуру и не накладываются друг на друга, можно сложить их площади.
Ответ: 21 см².
Сравнивать только длины сторон или внешний вид фигур — ошибка: длинная сторона не означает, что вся фигура занимает больше места. Так рассуждают, потому что длину легче заметить, чем площадь. Проверяйте сравнение по наложению, клеткам или разбиению на одинаковые части.
Запись площади в сантиметрах неверна: сантиметр — единица длины, а площадь измеряют квадратными единицами. Путаница возникает из-за того, что сторона квадрата измеряется в сантиметрах. Проверьте, что в ответе стоит см², если считали квадраты со стороной 1 см.
При подсчёте клеток нельзя бездумно округлять каждую неполную клетку до целой. Ошибку допускают, когда не учитывают, что несколько частей клеток могут составить целую клетку. Объединяйте такие части или применяйте указанное в задаче разбиение, чтобы ничего не посчитать дважды и не потерять.
Складывать площади частей, которые перекрываются, нельзя: участки наложения будут учтены дважды. Это случается, если разбиение выбрано неаккуратно. Перед сложением проверьте, что части покрывают всю фигуру без наложений и что ни одного участка не пропущено.
Для работы с площадями полезно уверенно распознавать квадрат и измерять длины отрезков. Знание единиц длины помогает понимать, какой квадрат выбран как единица площади: например, квадрат со стороной 1 см задаёт 1 см². Следите за различием между линейными и квадратными единицами.
Понятие площади и способы её сравнения станут основой для изучения формул площадей многоугольников. Умение разбивать фигуру на части пригодится в задачах, где контур сложен и площадь нельзя определить одним подсчётом. Эти приёмы также помогают проверять разумность результата измерения.
Чем площадь отличается от длины?
Длина показывает расстояние между двумя точками или размер отрезка в одном направлении. Площадь характеризует, сколько места занимает фигура на плоскости. Поэтому длину измеряют линейными единицами, а площадь — квадратными.
Почему площадь измеряют в квадратных единицах?
Единицу площади выбирают как площадь квадрата с известной длиной стороны. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Квадратные единицы показывают, сколько таких квадратов покрывает фигуру.
Как сравнить площади фигур, если их нельзя наложить друг на друга?
Можно разбить обе фигуры на одинаковые единичные квадраты и сравнить их количество. Если фигуры составлены из одинаковых частей, их площади равны, даже если их форма различается. Для сложных контуров также можно разложить фигуры на более простые части.
Могут ли фигуры разной формы иметь одинаковую площадь?
Да, форма и площадь — разные характеристики. Например, прямоугольную фигуру можно разделить на части и переставить их, не изменив суммарную площадь. Такие фигуры называют равновеликими.
Как найти площадь фигуры, составленной из нескольких частей?
Разбейте фигуру на части, которые не перекрываются и вместе полностью её покрывают. Найдите площадь каждой части, а затем сложите результаты. Все значения должны быть выражены в одной и той же единице площади.
11.1. Знакомство с площадями фигур
