11.2. Площадь прямоугольника. Площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда

Определения и обозначения

Площадь прямоугольника — величина, равная произведению длин двух его соседних сторон. Если стороны обозначены a и b, площадь обозначают S и записывают формулой S = ab. Буквы a и b показывают длины сторон, а S — площадь фигуры. Эта формула позволяет узнать, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника.

Прямоугольный параллелепипед — объёмное тело, все грани которого являются прямоугольниками. Его три измерения обычно обозначают a, b и c: это длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. У тела шесть граней, и они образуют три пары противоположных прямоугольников. Измерения нужны, чтобы определить размеры каждой грани и рассчитать поверхность.

Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны, а грани являются равными квадратами. Если ребро куба обозначить a, то сторона каждой грани тоже равна a. Куб можно рассматривать как особый параллелепипед, у которого три измерения совпадают. Это упрощает вычисление его поверхности: достаточно найти площадь одной грани и учесть все грани.

Площадь поверхности тела — сумма площадей всех его граней. У прямоугольного параллелепипеда складывают площади шести прямоугольников, а у куба — шести квадратов. Такая величина показывает, сколько материала потребовалось бы, чтобы закрыть тело снаружи, не считая нахлёстов. Поэтому площадь поверхности нужна, например, при расчёте покрытия или упаковки.

Как это устроено

Чтобы понять формулу площади прямоугольника, представим, что его стороны выражены целыми числами единиц длины. Разобьём фигуру на единичные квадраты: вдоль стороны a получится a квадратов в каждой строке, а вдоль стороны b — b строк. В каждой строке одинаковое число квадратов, поэтому всего их a · b. Значит, площадь равна S = ab; если длины заданы не целыми числами, правило сохраняется и позволяет находить площадь по тем же измерениям.

Поверхность параллелепипеда состоит из шести граней, но площади всех шести отдельно вычислять не обязательно. Противоположные грани равны: две имеют размеры a и b, две — b и c, ещё две — a и c. Поэтому сначала находят площади ab, bc и ac, а затем складывают. Каждая из этих трёх площадей относится сразу к паре одинаковых граней.

Учитывая равенство противоположных граней, сумму ab + bc + ac нужно взять дважды. Так получается формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac). Здесь a, b и c — его измерения, а выражения ab, bc и ac — площади трёх видов граней. Скобки помогают сначала сложить площади разных граней, а умножение на 2 учитывает вторую грань каждого вида.

В кубе все стороны каждой грани равны a, поэтому площадь одной грани равна a · a = a². Граней шесть, причём они одинаковые, так что площадь поверхности равна шести площадям одной грани. Получаем формулу S = 6a². Квадрат относится к длине ребра, потому что площадь грани измеряется в квадратных единицах.

При вычислении важно выражать все длины в одинаковых единицах. Например, нельзя без перевода перемножать сантиметры и метры как числа: один метр содержит сто сантиметров, поэтому такие записи обозначают разные масштабы. Переведите измерения в сантиметры, метры или другую общую единицу и только потом применяйте формулу. В результате площадь будет выражена в квадрате выбранной единицы: если стороны были в сантиметрах, ответ получится в см².

Площади прямоугольника и поверхностей прямоугольных тел

Сначала выберите в таблице нужную фигуру и уточните, требуется площадь плоской фигуры или всей поверхности тела. Затем сверьте обозначения и подставьте измерения в соответствующую формулу. Для параллелепипеда проверьте, что указаны все три измерения, а для куба — длина ребра.

Разбор задач

Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Чтобы найти площадь, нужно перемножить длины соседних сторон, а не складывать их: сложение помогло бы определить периметр. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Площадь будет выражена в квадратных сантиметрах.

1. Записываем формулу: S = ab.
2. Подставляем стороны: S = 8 · 5.
3. Вычисляем произведение: S = 40 см².

Ответ: 40 см². Единица стала квадратной, потому что перемножались две длины в сантиметрах. Проверка здравого смысла: прямоугольник шириной 5 см и длиной 8 см должен занимать больше, чем 8 или 5 квадратных сантиметров, и результат этому не противоречит.

Задача 2. Площадь прямоугольника равна 42 см², одна сторона — 6 см. Нужно найти другую сторону. Из формулы S = ab выразим неизвестную сторону: если площадь разделить на известную сторону, получим длину второй. Поскольку площадь дана в квадратных сантиметрах, а известная длина — в сантиметрах, частное будет в сантиметрах.

1. Обозначим неизвестную сторону b и запишем S = ab.
2. Выразим b: b = S / a.
3. Подставим данные: b = 42 см² / 6 см = 7 см.

Ответ: 7 см. Проверим результат: 6 см · 7 см = 42 см², то есть при умножении найденной стороны на известную получается исходная площадь. Проверка единиц тоже подходит: см² / см = см.

Задача 3. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см и 7 см. Каждое измерение сочетается с двумя другими, поэтому сначала найдём площади граней разных видов: 3 · 4, 4 · 7 и 3 · 7. Каждая такая грань имеет равную противоположную, значит, сумму трёх результатов нужно удвоить. Все измерения даны в сантиметрах, и площадь получится в см².

1. Находим площади трёх разных граней: 3 · 4 = 12 см², 4 · 7 = 28 см², 3 · 7 = 21 см².
2. Складываем их: 12 + 28 + 21 = 61 см².
3. Учитываем противоположные грани: 2 · 61 = 122 см².

Ответ: 122 см². Такой же результат даёт формула S = 2(ab + bc + ac): в скобках получается 61, затем сумма удваивается. Если бы мы оставили только сумму площадей трёх найденных граней, то учли бы лишь половину поверхности.

Типичные ошибки

Иногда площадь прямоугольника находят сложением сторон: например, к a прибавляют b. Так путают площадь с периметром, который действительно связан со сложением длин сторон. Для проверки подставьте стороны в формулу S = ab и проследите за единицами: умножение сантиметров на сантиметры даёт см², а сложение длин — сантиметры.

При вычислении площади поверхности параллелепипеда могут сложить площади только трёх граней. Это происходит потому, что видны три грани, а противоположные не заметны или о них забывают. Проверьте, что учтены все шесть граней: у каждой из трёх найденных площадей должна быть равная пара, поэтому итог равен 2(ab + bc + ac).

Для куба иногда записывают S = 6a, забывая возвести ребро в квадрат. Число 6 показывает количество граней, но площадь каждой грани — квадрата со стороной a — равна a², а не a. Проверьте и смысл ответа: если ребро измерено в сантиметрах, площадь должна быть в см², поэтому формула 6a не подходит.

Ещё две связанные ошибки — записать площадь в линейных единицах или подставить длины в разных единицах без перевода. Их допускают, когда механически переносят числа в формулу и не проверяют, что именно измеряют. Перед вычислением приведите все длины к одной единице, а в конце возведите единицу длины в квадрат: например, сантиметры дадут квадратные сантиметры.

Связь с другими темами

Для формулы площади прямоугольника нужно понимать, что площадь измеряют квадратными единицами, и знать площадь квадрата со стороной a: она равна a². Также понадобятся представления о прямоугольнике и об элементах пространственных тел — гранях и измерениях. Эти знания связывают вычисления на плоскости с задачами о телах. Формулы площади поверхности применяют, когда рассчитывают покрытие или упаковку, а позже они помогут при изучении объёмов и других задач о поверхностях.

Что запомнить

• Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна ab.
• Площадь поверхности тела — сумма площадей всех его граней.
• У прямоугольного параллелепипеда три пары равных противоположных граней.
• Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 2(ab + bc + ac).
• Площадь поверхности куба со стороной a равна 6a².
• Площадь выражают в квадратных единицах.
• Перед вычислением нужно привести длины к одинаковым единицам.