"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
В теореме условие сообщает, что известно, а заключение — что из этого следует. Если поменять их местами, получится обратное утверждение, но оно не обязательно будет истинным. Например, из равенства двух сторон треугольника следует равенство углов напротив них; верно ли обратное, нужно установить отдельно. Если обратное утверждение доказано, его называют обратной теоремой. Умение различать эти формулировки помогает проверять рассуждения и распознавать геометрические признаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема — утверждение, истинность которого доказывают. В ней важно различать две части: что дано и что из этого должно следовать. Например, в утверждении о равных сторонах и углах треугольника сначала говорится о сторонах, а затем — об углах.
Условие теоремы — то, что предполагается известным в её формулировке. Его можно узнать по смыслу слов «если», «дано» или «при условии, что». Условие задаёт исходную ситуацию, от которой начинается доказательство.
Заключение теоремы — то, что требуется установить, если условие выполнено. Часто оно следует за словами «то» или «значит». Отделив заключение от условия, легче понять, что именно доказывает теорема.
Обратная теорема — теорема, полученная из исходной перестановкой условия и заключения. Сначала такая перестановка даёт только обратное утверждение, а теоремой оно становится после доказательства. Это различие помогает не принять правдоподобную фразу за уже установленный факт.
Чтобы выделить условие и заключение, переформулируй теорему в виде «если…, то…». Такое построение показывает логический порядок: сначала задаётся известная ситуация, а затем называется результат. Например, слова о двух равных сторонах окажутся условием, а слова о равных углах напротив них — заключением.
Чтобы составить обратное утверждение, поменяй местами условие и заключение целиком. Если исходная теорема имеет вид «если A, то B», обратная формулировка будет «если B, то A». Нужно сохранить смысл каждой части: нельзя переставлять случайные слова, потому что тогда получится уже другое утверждение.
Обратное утверждение не обязательно истинно, поскольку связь «если A, то B» не работает автоматически в обратном направлении. Условие A может быть достаточной причиной для B, но к B могут приводить и другие причины. Поэтому, зная результат B, нельзя без дополнительного доказательства заключить, что произошло именно A.
Даже удачно составленное обратное утверждение становится обратной теоремой только после доказательства. Перестановка частей формулировки — это способ получить новую догадку, а не доказательство её истинности. Проверка может завершиться доказательством или контрпримером, то есть примером, который показывает, что утверждение неверно.
Проверим перестановку на признаке равнобедренного треугольника. Исходное утверждение: если две стороны треугольника равны, то равны углы при основании, лежащие напротив этих сторон. Меняем местами части: если два угла при основании равны, то равны лежащие напротив них стороны; эта формулировка истинна, но для названия обратной теоремой её также нужно обосновать.
| Что сравниваем | Исходная теорема | Обратное утверждение |
|---|---|---|
| Условие | Исходная известная часть | Заключение исходной теоремы |
| Заключение | То, что следует из условия | Условие исходной теоремы |
| Как получить из другой формулировки | Записать «если A, то B» | Поменять A и B местами: «если B, то A» |
| Нужно ли отдельно доказывать истинность | Да, для исходной теоремы | Да, отдельно от исходной |
Используй таблицу после того, как перепишешь теорему в форме «если…, то…»: так будет понятно, какие части переставлять. Затем составь обратное утверждение и проверь, есть ли доказательство или контрпример. Наличие доказанной исходной теоремы не заменяет эту проверку.
Условие: «Если две стороны треугольника равны, то равны углы, лежащие напротив них». Нужно найти условие и заключение, а затем составить обратное утверждение. Удобно сначала обозначить части словами A и B, чтобы не поменять местами только отдельные фрагменты фразы.
Ответ: условие исходной теоремы — равенство двух сторон, заключение — равенство углов напротив них; обратное утверждение говорит, что равным углам противолежат равные стороны. При составлении обратной формулировки доказательство ещё не выполнено: её истинность устанавливают отдельно.
Условие: «Если две прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны». Составим обратную формулировку и проверим, можно ли назвать её обратной теоремой. Здесь нужно помнить, что углы рассматриваются при пересечении прямых секущей.
Ответ: обратное утверждение — «если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны». Поскольку его истинность обосновывается признаком параллельности, это обратная теорема к исходному свойству.
Условие: «Если четырёхугольник — квадрат, то его диагонали равны». Требуется составить обратное утверждение и проверить его истинность. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно найти четырёхугольник с равными диагоналями, который не является квадратом.
Ответ: обратное утверждение записано верно как перестановка частей, но оно ложно. Прямоугольник служит контрпримером, поэтому эту формулировку нельзя называть обратной теоремой.
Ошибка — считать любое обратное утверждение теоремой. Её допускают, потому что перестановка частей выглядит как готовое доказательство, хотя она лишь меняет формулировку. Проверь себя: можешь ли ты объяснить, почему новое заключение следует из нового условия? Если нет, истинность ещё не установлена.
Ошибка — менять местами отдельные слова или части фразы вместо условия и заключения. Так поступают, когда не записывают теорему в форме «если…, то…», и в результате получают утверждение с другим смыслом. Для проверки сначала сформулируй целиком, что предполагается, а затем — что требуется доказать.
Обратное утверждение иногда путают с противоположным. Причина в том, что оба названия звучат похоже, но для обратного нужно переставить условие и заключение, а противоположное строят с отрицаниями. Проверь формулировку: если условие и заключение просто поменялись местами, это обратное утверждение.
Ошибка — думать, что доказательство исходной теоремы автоматически доказывает и обратную. Это неверно: из «если A, то B» нельзя без дополнительного основания вывести «если B, то A». Чтобы проверить себя, выпиши обе формулировки рядом и найди отдельное доказательство или контрпример для обратной.
Для работы с обратными теоремами нужно уметь превращать формулировки в вид «если…, то…» и различать условие с заключением. Проверка обратных утверждений опирается на определения и свойства геометрических фигур: например, нужно знать свойства треугольников или прямоугольников. Позже тот же способ рассуждения пригодится при изучении признаков равенства и подобия фигур, а также признаков параллельности прямых.
Как понять, где в теореме условие, а где заключение?
Переформулируй утверждение так: «Если…, то…». Часть после «если» — условие, а часть после «то» — заключение.
Как правильно составить обратное утверждение?
Сначала выдели условие и заключение, затем поменяй их местами. Не переставляй отдельные слова: меняются местами целые части логического утверждения.
Почему обратное утверждение может оказаться неверным?
Из того, что A влечёт B, не следует, что B влечёт A. Например, у квадрата равные диагонали, но равные диагонали есть и у прямоугольника, который не является квадратом.
Чем обратная теорема отличается от противоположного утверждения?
В обратном утверждении условие и заключение исходной теоремы меняются местами. Противоположное утверждение строится иначе: отрицаются условие и заключение, поэтому это не одно и то же.
Как доказать, что обратное утверждение действительно является теоремой?
Нужно отдельно обосновать, что при новом условии обязательно выполняется новое заключение. Для этого используют определения, свойства и уже доказанные теоремы; если утверждение неверно, достаточно привести контрпример.
10.4. Обратные теоремы
