10.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Определения и обозначения

Теорема Фалеса утверждает: если несколько параллельных прямых пересекают обе стороны угла, то они отсекают на этих сторонах пропорциональные отрезки. Это значит, что отношение длин соответствующих частей на одной стороне равно отношению длин частей на другой. Условие применения — прямые должны быть параллельны и пересекать обе стороны угла; тогда можно составлять равенства отношений.

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Середина делит сторону на две части одинаковой длины, поэтому оба конца средней линии должны находиться именно в таких точках. Это определение помогает отличить среднюю линию от любого другого отрезка, проведённого внутри треугольника.

Свойство средней линии треугольника: она параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Если средняя линия обозначена MN, а третья сторона — BC, записывают MN ∥ BC и MN = ½BC. Это свойство позволяет находить одну из этих длин, если известна другая, и обосновывать параллельность.

Пропорциональные отрезки — это отрезки, отношения длин которых равны. Если на двух сторонах угла отрезки a и b соответствуют отрезкам c и d, пропорцию можно записать так: a/b = c/d. Такая запись нужна, чтобы по известным длинам вычислить неизвестную; главное — не перепутать соответствующие отрезки.

Как это устроено

Представь угол с вершиной O и несколько параллельных прямых, пересекающих обе его стороны. На каждой стороне появляются точки пересечения, а между соседними параллельными прямыми — соответствующие отрезки. Например, первый участок на одной стороне соответствует первому участку на другой, потому что оба ограничены одной и той же парой параллельных прямых. Такое соответствие сохраняется и для следующих участков.

Причина пропорциональности связана с подобием треугольников. Если взять вершину угла и точки, где одна из параллельных прямых пересекает его стороны, получится треугольник; следующая параллельная прямая образует треугольник большего размера. У них одинаковый угол при вершине, а остальные углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Поэтому треугольники подобны: их соответствующие стороны увеличиваются в одинаковое число раз, и разности таких сторон тоже относятся одинаково.

Теорема Фалеса даёт практический способ разделить отрезок на равные части. Пусть нужно получить, например, четыре части: из конца отрезка проведи произвольный луч и отложи на нём циркулем четыре равных отрезка. Последнюю отметку соедини со вторым концом исходного отрезка, затем через остальные отметки проведи параллельные этой соединительной линии прямые. Они пересекут исходный отрезок и разделят его на четыре равные части, поскольку соответствующие отрезки пропорциональны.

Чтобы получить свойство средней линии, рассмотрим треугольник ABC, где M и N — середины AB и AC. Проведём MN и сравним треугольники AMN и ABC: AM составляет половину AB, а AN — половину AC. Угол при A у них общий, поэтому треугольники подобны с коэффициентом ½; отсюда MN составляет половину BC, а соответствующие углы показывают, что MN параллельна BC.

На чертеже сначала ищи отметки равных частей на двух сторонах: они показывают середины. Отрезок между этими серединами — средняя линия, поэтому его можно заменить двумя выводами: он параллелен третьей стороне и вдвое короче её. Если требуется найти длину, используй равенство длин; если нужно доказать параллельность, укажи, что отрезок соединяет середины двух сторон треугольника.

Теорема Фалеса и средняя линия треугольника

В таблице сначала найди условие, которое совпадает с данными задачи, а затем используй соответствующий вывод. Если известны отрезки на сторонах угла, проверь параллельность прямых и соответствие частей. Для средней линии сначала установи, что её концы — середины сторон.

Разбор задач

Задача 1

Параллельные прямые пересекают стороны угла. На одной стороне между соседними прямыми отрезки равны 3 см и 5 см, а соответствующий первому отрезок на другой стороне равен 6 см. Нужно найти отрезок, соответствующий отрезку 5 см. Поскольку прямые параллельны и пересекают обе стороны угла, применима теорема Фалеса.

1. Сопоставим отрезки в одном и том же порядке: 3 см соответствует 6 см, а 5 см — неизвестному x.
2. Запишем пропорцию: 3/5 = 6/x. Она означает, что отношения соответствующих частей на двух сторонах равны.
3. Перемножим крест-накрест: 3x = 30, поэтому x = 10 см.

Ответ: 10 см. Проверка: на второй стороне отрезки 6 см и 10 см относятся так же, как 3 см и 5 см.

Задача 2

На стороне треугольника длиной 14 см отмечена середина, а через неё проведена прямая, параллельная другой стороне. Нужно найти отрезок, который прямая отсекает на третьей стороне. По теореме Фалеса прямая, проходящая через середину одной стороны параллельно второй стороне, делит третью сторону пополам. Однако длина третьей стороны в условии не дана, поэтому численное значение отсекаемого отрезка определить нельзя.

1. Отметим, что середина стороны длиной 14 см делит её на части по 7 см; это подтверждает, что точка находится в середине.
2. Параллельность прямой второй стороне позволяет применить теорему Фалеса: соответствующие части сторон пропорциональны.
3. Из равенства частей первой стороны следует равенство частей третьей стороны. Значит, искомый отрезок равен половине длины третьей стороны.

Ответ: половина длины третьей стороны; численную длину найти нельзя без дополнительного значения. Длины 14 см недостаточно, потому что это длина другой стороны, а не третьей.

Задача 3

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC, BC = 18 см. Нужно найти MN и обосновать параллельность MN и BC. Указание на середины позволяет распознать среднюю линию, соединяющую две стороны треугольника. Для неё применяются сразу оба свойства.

1. Проверяем определение: M — середина AB, N — середина AC, значит, MN — средняя линия треугольника ABC.
2. Средняя линия равна половине третьей стороны, поэтому MN = ½ · 18 = 9 см.
3. По свойству средней линии MN параллельна третьей стороне BC, следовательно, MN ∥ BC.

Ответ: MN = 9 см, MN ∥ BC. Оба вывода сделаны потому, что M и N — середины двух сторон.

Типичные ошибки

Первая ошибка — составлять пропорцию между несоответствующими отрезками. Обычно путают части, потому что на рисунке они расположены в разном порядке или обозначены неочевидно. Перед записью пропорции найди для каждого отрезка пару, лежащую между той же парой параллельных прямых, и проверь одинаковый порядок соответствий.

Вторая ошибка — применять теорему Фалеса, не проверив условия. Само наличие нескольких прямых на рисунке не доказывает, что они параллельны или пересекают обе стороны угла. Проверь параллельность по условию или по обозначениям чертежа и убедись, что каждая прямая пересекает обе стороны.

Третья ошибка — называть средней линией любой отрезок, соединяющий точки на двух сторонах треугольника. Так думают, потому что такой отрезок похож на среднюю линию, но его концы могут не делить стороны пополам. Проверь равенство частей каждой стороны: только соединение двух середин является средней линией.

Четвёртая ошибка — считать, что средняя линия равна всей третьей стороне. Путают длины, когда запоминают только связь между ними, но забывают коэффициент ½. Проверь направление вычисления: средняя линия вдвое короче третьей стороны, а третья сторона вдвое длиннее средней.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой Фалеса нужно знать, что такое угол, отрезок, параллельные прямые и середина отрезка. Также понадобится умение составлять пропорции и находить неизвестный член пропорции — именно так вычисляют длину по известным отрезкам. Свойство средней линии связано с подобием треугольников: оно помогает устанавливать отношения длин и параллельность. Эти знания пригодятся в дальнейших задачах на подобие, длины и доказательство геометрических утверждений.

Что запомнить

• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
• Теорему Фалеса можно использовать для деления отрезка на равные части.
• Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
• Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника.
• Средняя линия равна половине третьей стороны.
• Перед составлением пропорции нужно правильно определить соответствующие отрезки.