32. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Определения и обозначения

Противолежащая сторона — сторона треугольника, не имеющая общей вершины с данным углом. Например, в треугольнике ABC напротив угла A лежит сторона BC. Это определение нужно, чтобы не перепутать сторону с одной из тех, которые образуют угол.

Противолежащий угол — угол треугольника, вершина которого не принадлежит данной стороне. У стороны AB в треугольнике ABC противолежащий угол — ∠C. По этому правилу находят угол, который нужно сравнить с конкретной стороной.

Соотношение между сторонами и углами треугольника: большей стороне противолежит больший угол, и наоборот. Например, если AB больше AC, сравнивать нужно ∠C и ∠B, а не углы при концах этих сторон. Это соответствие позволяет делать вывод о сравнении элементов без измерений.

Равенство противолежащих элементов: равным сторонам треугольника противолежат равные углы, а равным углам — равные стороны. Так, из AB = AC следует ∠C = ∠B. Это полезно, когда в задаче дано равенство сторон или углов и нужно найти другие равные элементы.

Как это устроено

Чтобы каждой стороне поставить в соответствие угол, нужно посмотреть, какая вершина не входит в эту сторону. Например, сторона AB не содержит вершину C, поэтому напротив AB лежит ∠C. И наоборот: у угла A вершина — A, значит, противолежащая сторона BC не проходит через эту вершину. В треугольнике ABC соответствия такие: AB и ∠C, AC и ∠B, BC и ∠A.

Почему большая сторона лежит напротив большего угла? Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше AB. На стороне AC можно отметить точку D так, чтобы AD = AB. Тогда треугольник ABD равнобедренный, а его углы при основании равны. Угол ADB — внешний угол треугольника BDC: он больше угла BCD, потому что равен сумме углов BCD и CBD. При этом ∠ADB равен углу ABD, а угол ABD составляет часть угла A. Значит, весь угол A больше угла C — именно так сравнение сторон приводит к сравнению противолежащих углов.

Теперь предположим, что один угол больше другого, например ∠A > ∠B. Напротив них лежат BC и AC. Допустим, что BC не больше AC: тогда возможны равенство или BC < AC. При равенстве противолежащие углы равны, а при BC < AC из уже доказанного утверждения следует ∠A < ∠B. Оба результата противоречат условию ∠A > ∠B, значит, наше предположение неверно и BC > AC.

Равенства получаются из сравнения в обе стороны. Если две стороны равны, ни одна из них не больше другой; значит, и соответствующий противолежащий угол не может быть больше другого. Углы равны. Если равны два угла, то по утверждению о сравнении углов ни одна противолежащая сторона не может быть больше другой, поэтому стороны равны. Так из теоремы следуют оба вывода о равенстве элементов.

Теорема полезна, когда значения сторон или углов точно неизвестны, но их можно сравнить по условию. Например, если известен порядок двух углов, сразу можно установить порядок сторон напротив них. Важно не пытаться сравнить сторону и угол, а сопоставлять только стороны между собой или только углы. Сами длины и величины при этом вычислять не требуется.

Сравнение сторон и противолежащих углов треугольника

Сначала определите, какие элементы находятся напротив друг друга, и только потом применяйте нужную строку таблицы. Первые две строки помогают сравнивать неравные элементы, последние две — делать вывод о равенстве. Направление сравнения сохраняется: большему элементу соответствует больший противолежащий элемент.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC известно, что AB > AC. Сравните углы C и B. Здесь даны две стороны, поэтому сначала надо определить углы напротив них. Не следует сравнивать угол A с одной из этих сторон: сторонам соответствуют углы при противоположных вершинах.

1. Стороне AB противолежит угол C, потому что вершина C не входит в сторону AB.
2. Стороне AC противолежит угол B, потому что вершина B не входит в сторону AC.
3. Так как AB > AC, большему углу соответствует сторона AB, а меньшему — сторона AC.

Ответ: ∠C > ∠B. Сравнение получилось без нахождения величин углов, потому что теорема сразу связывает порядок сторон с порядком противолежащих углов.

Задача 2

В треугольнике ABC известно, что ∠A > ∠B. Сравните стороны BC и AC. Теперь известны углы, поэтому применяем обратное утверждение теоремы: сравнение углов определяет сравнение сторон напротив них. Сначала нужно проверить соответствие вершин и сторон.

1. Напротив угла A лежит сторона BC: она не содержит вершину A.
2. Напротив угла B лежит сторона AC: она не содержит вершину B.
3. Угол A больше угла B, поэтому и противолежащая сторона BC больше стороны AC.

Ответ: BC > AC. Здесь нельзя заключать, что больше сторона AB: она образует углы A и B, а не лежит напротив них.

Задача 3

В треугольнике ABC известно, что AB = AC, а ∠B = 50°. Найдите ∠C и сравните ∠A с ∠B. Условие содержит равные стороны, значит, сначала можно установить равенство углов напротив них. После этого пригодится сумма углов треугольника, равная 180°.

1. Напротив AB лежит ∠C, а напротив AC — ∠B. Из AB = AC следует ∠C = ∠B.
2. Так как ∠B = 50°, то и ∠C = 50°.
3. Найдём оставшийся угол: ∠A = 180° − 50° − 50° = 80°. Значит, ∠A больше угла B.

Ответ: ∠C = 50°, ∠A > ∠B. Равенство сторон помогло найти угол, а сумма углов треугольника — определить величину третьего.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать сторону с углом при её вершине, а не с противолежащим углом. Так бывает, если смотреть только на соседство элементов на рисунке. Проверьте себя: у стороны и её противолежащего угла нет общей вершины. Например, напротив AB лежит ∠C.

Вторая ошибка — путать прямое и обратное утверждения. Из сравнения сторон выводят сравнение углов, а из сравнения углов — сторон; если поменять местами данные и вывод, рассуждение станет неверным. Перед решением отметьте, что дано в условии: стороны или углы. Затем выберите соответствующее направление теоремы.

Третья ошибка — считать, что большей стороне противолежит меньший угол. Возможно, так кажется, если перепутать, какая сторона лежит напротив какого угла. Проверка простая: сравнение идёт в одном направлении — большей стороне соответствует больший угол, меньшей стороне меньший. Это правило работает и наоборот для углов и сторон.

Четвёртая ошибка — из равенства двух сторон заключать, что все стороны треугольника равны. На самом деле равенство относится только к двум углам, противолежащим этим сторонам. Чтобы проверить вывод, снова сопоставьте элементы: у AB и AC противолежат ∠C и ∠B, поэтому равны именно они.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно знать, как обозначают стороны и углы треугольника и как находят вершину, не принадлежащую стороне. Также пригодится свойство равнобедренного треугольника: его углы при основании равны. Оно согласуется с выводом о равных противолежащих углах у равных сторон.

Теорема помогает сравнивать элементы треугольника, когда точные измерения неизвестны. Позже это умение пригодится при изучении неравенства треугольника. Связь с равнобедренным треугольником двусторонняя: равные стороны дают равные углы напротив них, а равные углы — равные противолежащие стороны.

Что запомнить

• Каждой стороне соответствует противолежащий угол.
• Большей стороне противолежит больший угол.
• Большему углу противолежит большая сторона.
• Равным сторонам противолежат равные углы.
• Равным углам противолежат равные стороны.
• Перед сравнением нужно точно определить пары противолежащих элементов.