24. Проекция отрезка.

Определения и обозначения

Перпендикуляр из точки на прямую — отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом; его основание лежит на прямой. Иными словами, перпендикуляр соединяет точку с прямой кратчайшим направлением под углом 90°. Он нужен, чтобы определить, куда именно «падает» точка при проецировании.

Проекция точки на прямую — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Если из точки A перпендикуляр пересекает прямую в точке H, то H — проекция A на эту прямую. Это обозначение позволяет заменить исходную точку точкой на прямой и затем строить проекцию отрезка.

Проекция отрезка на прямую — отрезок, соединяющий проекции концов исходного отрезка на эту прямую. Например, для отрезка AB сначала находят проекции точек A и B, а затем соединяют их. Такое определение показывает, почему для построения недостаточно опустить перпендикуляр только из одного конца.

Длина проекции отрезка — длина отрезка, полученного при проецировании его концов на прямую. Она может совпадать с длиной исходного отрезка, быть меньше неё или равняться нулю. Сравнение этих длин помогает описать положение исходного отрезка относительно прямой.

Как это устроено

Чтобы получить проекцию отрезка AB на прямую, из точек A и B проводят перпендикуляры к этой прямой и отмечают их основания. Каждый конец отрезка тем самым получает свою точку на прямой. Основания соединяют, потому что именно они являются концами искомой проекции. Если отрезок пересекает прямую, это не отменяет построения: проекции всё равно определяются перпендикулярами из обоих концов.

Проекция отрезка соединяет основания перпендикуляров; если основания совпали, проекция вырождается в одну точку и её длина равна нулю. Это происходит, например, когда исходный отрезок перпендикулярен прямой: оба его конца расположены на одном перпендикуляре, а этот перпендикуляр встречает прямую только в одной точке. Поэтому точки, в которые переходят концы отрезка, оказываются одной и той же точкой. Расстояние между совпавшими точками равно нулю.

Если отрезок параллелен прямой проекции, его проекция равна самому отрезку; если он перпендикулярен прямой, длина проекции равна нулю. В первом случае перпендикуляры из концов отрезка к прямой направлены одинаково, а расстояние между основаниями сохраняет длину отрезка. Если отрезок лежит прямо на прямой, обе его точки уже являются своими проекциями. Во втором случае, как сказано выше, оба конца проецируются в одну точку.

При наклонном положении проекция короче исходного отрезка: её длина зависит от наклона отрезка к прямой. Чем ближе отрезок к направлению прямой, тем длиннее его проекция; чем ближе он к перпендикулярному положению, тем она короче. Так происходит потому, что часть длины отрезка направлена не вдоль прямой, а от неё или к ней. Поэтому проекция сохраняет только составляющую отрезка вдоль прямой.

Для понимания длины проекции можно рассмотреть прямоугольный треугольник: исходный отрезок — гипотенуза, а его проекция — катет. Второй катет показывает, насколько концы отрезка смещены перпендикулярно прямой. Гипотенуза всегда длиннее катета, поэтому длина проекции не может быть больше исходного отрезка. Если известны длина отрезка и угол α между ним и прямой, то длину проекции можно найти по формуле: длина проекции = длина отрезка · cos α.

Проекция отрезка в зависимости от его положения относительно прямой

Сначала определи положение исходного отрезка относительно прямой, а затем найди соответствующую строку таблицы. Если положение наклонное, длину проекции нельзя определить только по длине отрезка: нужно знать угол или другие данные задачи. При параллельном и перпендикулярном положениях длину можно установить сразу.

Разбор задач

Задача 1. Точки A и B лежат на прямой l. Определите проекцию отрезка AB на l и её длину, если AB = 5 см. Разберём, что происходит с концами: точка, уже лежащая на прямой проекции, не смещается при проецировании. Значит, нужно найти проекции A и B, а затем соединить их.

1. Точки A и B принадлежат прямой l, поэтому перпендикуляры из них к l имеют нулевую длину.
2. Проекция точки A — сама точка A, а проекция точки B — сама точка B.
3. Соединяя полученные точки, получаем исходный отрезок AB; его длина задана и равна 5 см.

Ответ: проекция — отрезок AB, её длина равна 5 см. Здесь полезно заметить, что положение отрезка на прямой является частным случаем параллельного положения. Поэтому длина проекции не меняется.

Задача 2. Из точки A к прямой l опущен перпендикуляр с основанием H. Отрезок AB перпендикулярен l, а точка B лежит на l. Найдите проекцию AB на l. По условию перпендикуляр из A к l — это AB, так как он проходит через точку B на прямой. Значит, основание перпендикуляра из A совпадает с B.

1. Проекция конца A — основание перпендикуляра, то есть точка B.
2. Точка B лежит на l, поэтому её проекция на эту прямую — сама точка B.
3. Обе проекции совпали: это B. Следовательно, соединяющий их отрезок вырождается в одну точку.

Ответ: проекция AB — точка B, её длина равна нулю. Если в условии отдельно названо основание H перпендикуляра из A, то в этой ситуации H совпадает с B. Это следует из того, что перпендикулярная прямая через A пересекает l в одной точке, а по условию такой точкой является B.

Задача 3. Отрезок длиной 10 см образует с прямой угол 60°. Найдите длину его проекции на эту прямую. Поскольку отрезок наклонён, его проекция меньше 10 см. Исходный отрезок выступает гипотенузой прямоугольного треугольника, а проекция — катетом, прилежащим к углу 60°.

1. Обозначим длину проекции через x. Для прилежащего катета и гипотенузы используем косинус угла: cos 60° = x / 10.
2. Так как cos 60° = ½, получаем x / 10 = ½.
3. Умножаем обе части равенства на 10: x = 10 · ½ = 5 см.

Ответ: длина проекции равна 5 см. Результат меньше исходных 10 см, что согласуется со свойством наклонной проекции. Здесь важно выбрать прилежащий к заданному углу катет: именно он является проекцией отрезка на прямую.

Типичные ошибки

Иногда проекцией считают перпендикуляр от конца отрезка к прямой. Но этот перпендикуляр показывает расстояние от точки до прямой, а не проекцию всего отрезка. Проекция соединяет основания перпендикуляров из обоих концов. Проверь себя: у полученного отрезка оба конца должны лежать на прямой проекции.

Другая ошибка — найти проекцию только одного конца отрезка. Тогда известна лишь одна точка, а для отрезка нужны два конца. Такое упрощение часто возникает, если второй конец лежит на прямой и его проекцию забывают указать. Проверь построение: из каждого конца исходного отрезка должна быть проведена линия перпендикулярно прямой.

Неверно считать, что проекция всегда равна исходному отрезку. Это верно при параллельном положении, но при наклоне проекция короче, потому что является катетом прямоугольного треугольника с исходным отрезком-гипотенузой. Ошибку можно обнаружить сравнением длин: наклонная проекция не должна превосходить исходный отрезок. Если получилась большая длина, проверь вычисления и выбор стороны треугольника.

При перпендикулярном положении иногда рисуют проекцию как отрезок ненулевой длины. Однако оба конца исходного отрезка лежат на одном перпендикуляре к прямой и переходят в его основание. Поэтому проекция — одна точка, расстояние между её концами равно нулю. Самопроверка проста: если основания перпендикуляров совпали, длина проекции должна быть нулевой.

Связь с другими темами

Для построения проекции нужно уметь проводить перпендикуляр к прямой и распознавать прямой угол. Поэтому полезно вспомнить, как выглядит угол в 90° и где находится основание перпендикуляра. При наклонном положении отрезок, его проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник. Изученные свойства этого треугольника помогают находить длину проекции по углу и длине отрезка. Понятие проекции также пригодится в задачах о расстояниях, наклонных и перпендикулярах.

Что запомнить

• Проекция отрезка на прямую — отрезок между проекциями его концов.
• Проекцию строят с помощью перпендикуляров к прямой.
• Проекция параллельного отрезка равна самому отрезку.
• Проекция перпендикулярного отрезка имеет нулевую длину.
• Длина проекции наклонного отрезка меньше длины исходного.
• Проекция не может быть длиннее исходного отрезка.