"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Биссектриса не только делит угол на две равные части, но и помогает находить точки, одинаково удалённые от его сторон. Расстояние здесь измеряют не до вершины, а по перпендикуляру к прямой, содержащей сторону угла. Поэтому у точки на биссектрисе получаются два равных перпендикуляра. Верно и обратное: если точка внутри угла равноудалена от его сторон, она лежит на биссектрисе. Эти свойства используют в доказательствах и при решении задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Например, если луч BD — биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠DBC; сам луч обозначают BD. Точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла. Это свойство позволяет заменять вопрос о положении точки сравнением двух расстояний.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, поэтому его длину можно считать кратчайшим расстоянием от точки до прямой. Например, если из точки D перпендикуляр опущен на прямую в точку E, расстояние равно DE. Это определение нужно, чтобы точно понимать, какие отрезки сравнивают в задачах.
Расстояние от точки до стороны угла — это расстояние от точки до прямой, на которой лежит сторона. Его измеряют перпендикуляром к этой прямой, а не отрезком, соединяющим точку с вершиной. Например, для точки внутри угла можно опустить по перпендикуляру к каждой из двух сторон. Именно длины этих перпендикуляров сравнивают, когда говорят о равноудалённости от сторон.
Пусть точка D лежит на биссектрисе угла ABC. Чтобы сравнить расстояния от D до сторон, опустим перпендикуляры DE и DF на прямые BA и BC. Тогда DE и DF — искомые расстояния, а треугольники BDE и BDF прямоугольные. Такое построение превращает вопрос о расстояниях в задачу о сравнении треугольников.
У треугольников BDE и BDF гипотенуза BD общая, потому что оба отрезка идут от одной вершины угла к точке D. Угол DBE равен углу DBF: это части угла ABC, которые равны по определению биссектрисы. Значит, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из их равенства следует, что DE = DF, то есть точка на биссектрисе равноудалена от сторон.
Теперь предположим, что точка D находится внутри угла ABC и равноудалена от его сторон. Опустим перпендикуляры DE и DF на BA и BC: по условию DE = DF, а углы BED и BFD прямые. У прямоугольных треугольников BDE и BDF также общая гипотенуза BD. Поэтому треугольники равны по гипотенузе и катету, а соответствующие углы при B равны.
Равенство углов DBE и DBF означает, что луч BD делит угол ABC на две равные части. Следовательно, BD — биссектриса, и точка D лежит на ней. Так получается обратное утверждение: равноудалённость от сторон определяет положение точки на биссектрисе, если точка находится внутри угла. Вместе прямое и обратное утверждения дают способ распознавать биссектрису по расстояниям.
В задачах слово «расстояние» всегда требует уточнения: до какой прямой оно измеряется и где основание перпендикуляра. Например, отрезок от точки D до вершины B не заменяет расстояние от D до стороны BA. Только перпендикуляр к прямой BA показывает расстояние до этой стороны. Поэтому сначала обозначают основания перпендикуляров, а затем используют их длины в доказательстве.
| Условие | Что следует | Обоснование или применение |
|---|---|---|
| Точка лежит на биссектрисе угла | Расстояния от точки до обеих сторон угла равны | Равенство прямоугольных треугольников |
| Точка внутри угла равноудалена от его сторон | Точка лежит на биссектрисе угла | Обратное утверждение; доказательство равенством прямоугольных треугольников |
Пользуйтесь таблицей, начиная с условия: выясните, что известно о точке — её положение на биссектрисе или равные расстояния до сторон. Затем выберите подходящий вывод, не меняя местами прямое и обратное утверждения. В обоих случаях обоснование связано с равенством прямоугольных треугольников.
Задача 1. Точка находится на биссектрисе угла и удалена от одной его стороны на 4 см. Найдите расстояние до другой стороны. Нужно понять, что означает данное расстояние: это длина перпендикуляра к прямой стороны, а не путь до вершины. Поскольку точка лежит на биссектрисе, её расстояния до сторон равны.
Ответ: 4 см. Здесь не требуется находить длину отрезка до вершины: сравниваются именно перпендикуляры к сторонам угла.
Задача 2. Точка внутри угла удалена от каждой из его сторон на 3 см. Определите, где она расположена относительно биссектрисы. Равные расстояния сами по себе нужно связать с обратным утверждением, а слово «внутри» проверяет необходимое условие его применения. Поэтому мы не ищем длину отрезка до вершины и сразу рассматриваем перпендикуляры к сторонам.
Ответ: точка расположена на биссектрисе угла. Если бы не было условия о нахождении внутри угла, такой вывод о внутренней биссектрисе нельзя было бы сделать автоматически.
Задача 3. В угле ABC точка D лежит на биссектрисе угла B. Перпендикуляры DE и DF опущены на стороны BA и BC. Докажите, что треугольники BDE и BDF равны, а DE = DF. Сначала выделим признаки прямоугольных треугольников: углы E и F прямые. Затем установим, какая сторона у них общая и какие острые углы равны.
Ответ: треугольники BDE и BDF равны, DE = DF. В доказательстве указаны оба основания равенства: общая гипотенуза и равные углы при вершине B.
Ошибка — считать расстоянием до стороны отрезок до вершины угла. Так поступают, потому что вершина кажется ближайшей или самой заметной точкой стороны. Проверьте себя: расстояние до прямой всегда изображается перпендикуляром к ней.
Ошибка — применять свойство к любой точке внутри угла и утверждать, что расстояния до сторон равны. Одно лишь нахождение внутри угла этого не гарантирует: точка должна лежать на биссектрисе, чтобы сработало прямое свойство. Проверьте, есть ли такое условие или отдельно установлено равенство расстояний.
Ошибка — забывать условие «точка внутри угла» в обратном утверждении. Равноудалённость точки, расположенной вне угла, не даёт автоматически вывода о принадлежности его внутренней биссектрисе. Перед применением обратного свойства проверьте положение точки.
Ошибка — заявлять равенство прямоугольных треугольников, не объяснив, почему равны нужные элементы. Часто ученик видит общую сторону и сразу делает вывод, хотя этого недостаточно. Назовите общую гипотенузу, равные углы или катеты и укажите признак равенства, который применяете.
Для доказательства свойства нужны определение биссектрисы и знания о прямоугольном треугольнике: в нём есть прямой угол и гипотенуза. Также пригодится признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу или по гипотенузе и катету. Эти знания помогают обосновать равенство расстояний, а не только увидеть его на чертеже.
Свойство применяют, когда нужно доказать равенство отрезков или установить, что точка лежит на биссектрисе. Оно также помогает искать геометрическое место точек — множество точек, обладающих заданным свойством: внутри угла это точки, равноудалённые от его сторон. Поэтому расстояния и биссектрисы могут выступать разными способами описать одно и то же положение точки.
Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Точка внутри угла, равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе.
Свойство доказывают с помощью равенства прямоугольных треугольников.
Вершина угла равноудалена от его сторон на нулевое расстояние.
Как правильно измерить расстояние от точки до стороны угла?
Расстояние измеряют по перпендикуляру, опущенному из точки на прямую, содержащую сторону. Отрезок до вершины угла расстоянием до стороны не является.
Почему точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла?
Если опустить из точки перпендикуляры к сторонам, получатся два прямоугольных треугольника. Их гипотенузы равны, а углы при вершине равны, поэтому треугольники равны и перпендикуляры имеют одинаковую длину.
Верно ли обратное утверждение о равноудалённой от сторон точке?
Да, если точка находится внутри угла и её расстояния до сторон равны, она лежит на биссектрисе. Это доказывают равенством прямоугольных треугольников, построенных с помощью перпендикуляров.
Можно ли применить свойство к точке вне угла?
Утверждение о том, что любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон, сохраняется и для точки на продолжениях сторон при соответствующем понимании расстояний. Но обратный вывод о внутренней биссектрисе требует, чтобы точка находилась внутри угла.
Как использовать свойство биссектрисы в задаче на доказательство?
Сначала проверьте, что точка лежит на биссектрисе, и опустите из неё перпендикуляры к сторонам угла. Эти отрезки являются расстояниями до сторон, поэтому по свойству биссектрисы они равны. Если известны равные расстояния, можно применить обратное утверждение.
23. Свойства биссектрисы угла.
