22. Серединный перпендикуляр к отрезку.

Определения и обозначения

Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Середина делит отрезок на две равные части, а перпендикуляр образует с ним прямой угол. Чтобы узнать, является ли прямая серединным перпендикуляром, нужно проверить оба условия. Одного прохождения через середину недостаточно.

Точки равноудалены от концов отрезка, если расстояния от каждой такой точки до обоих концов равны. Например, если точка M равноудалена от A и B, то MA = MB. Это обозначение помогает переводить условие задачи о расстояниях на язык равенств. По нему можно выяснить, где расположена точка относительно отрезка.

Геометрическое место точек — множество всех точек плоскости, обладающих заданным свойством. Например, можно искать все точки, расстояния от которых до A и B одинаковы. Оказывается, все такие точки лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к AB. Это название описывает не одну точку, а всю прямую, состоящую из точек с нужным свойством.

Как это устроено

Чтобы построить серединный перпендикуляр, сначала находят середину отрезка, а затем проводят через неё прямую под прямым углом к отрезку. Середину можно определить измерением или найти построением; перпендикуляр проводят с помощью угольника. Важно, что полученная линия продолжается в обе стороны, поэтому речь идёт именно о прямой, а не только о её части. Проверка двух условий — середина и прямой угол — подтверждает построение.

Почему точка M на серединном перпендикуляре равноудалена от A и B? Обозначим середину AB буквой N. Треугольники MNA и MNB прямоугольные: MN перпендикулярна AB, значит, прямой угол есть при N. Их катеты MN общие, а NA и NB равны, потому что N — середина. Поэтому треугольники равны, а их гипотенузы MA и MB равны. Так получается прямое свойство.

Теперь предположим, что MA = MB, и проверим обратное утверждение. Соединим M с серединой N отрезка AB; тогда NA = NB, а MN — общая сторона треугольников MNA и MNB. Вместе с равенством MA и MB это даёт равенство треугольников по трём сторонам. Значит, углы ANM и MNB равны; они смежные, поэтому каждый составляет 90°. Следовательно, MN перпендикулярна AB, и M лежит на серединном перпендикуляре.

Обе части рассуждения вместе дают теорему: серединный перпендикуляр к отрезку состоит из всех точек, равноудалённых от его концов. В одну сторону теорема позволяет по положению точки на прямой заключить, что её расстояния равны. В другую сторону равенство расстояний показывает, что точка принадлежит этой прямой. Чтобы выбрать нужную часть теоремы, проверьте, что дано в условии: положение точки или равенство её расстояний.

Свойство удобно применять, когда положение точки не задано прямо. Если известно, что точка одинаково удалена от A и B, по обратной части теоремы можно определить её место: она лежит на серединном перпендикуляре к AB. Например, при поиске центра окружности, проходящей через A и B, центр должен быть равноудалён от них. Значит, его ищут на этой прямой, а дополнительные точки могут сузить поиск до одного места.

Серединный перпендикуляр и равноудалённость точек

Таблица помогает выбрать вывод по условию. Сначала найдите, что известно: точка находится на серединном перпендикуляре или известны равные расстояния до концов. Затем используйте соответствующую строку — прямое или обратное свойство теоремы.

Разбор задач

Задача 1. Отрезок AB равен 10 см, а точка M лежит на его серединном перпендикуляре. Найдите расстояния от M до A и B, если MA = 13 см.
Решение:

1. Из условия M лежит на серединном перпендикуляре к AB.
2. По свойству такой прямой любая её точка равноудалена от концов отрезка, значит, MA = MB.
3. Подставляем известное значение: MB = 13 см. Длина AB здесь не нужна: она подтверждает, что речь идёт об отрезке, но равенство расстояний следует из положения M.

Ответ: MA = 13 см, MB = 13 см.

Задача 2. Точка P равноудалена от концов отрезка CD. Как расположена P относительно серединного перпендикуляра к CD? Обоснуйте ответ.
Решение:

1. Переводим условие в равенство: PC = PD.
2. Здесь дано равенство расстояний, а не положение P на прямой, поэтому используем обратную часть теоремы.
3. Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Следовательно, P принадлежит серединному перпендикуляру к CD.

Ответ: P лежит на серединном перпендикуляре к CD.

Задача 3. Точка O равноудалена от точек A и B, а точка P равноудалена от точек B и C. Как определить точку пересечения серединных перпендикуляров к AB и BC и какое расстояние до A, B и C у неё будет?
Решение:

1. Из OA = OB по обратной теореме следует, что O лежит на серединном перпендикуляре к AB. Аналогично, из PB = PC следует, что P лежит на серединном перпендикуляре к BC.
2. Обозначим точку пересечения этих прямых буквой X. Именно X принадлежит обеим прямым, поэтому по прямому свойству XA = XB и XB = XC.
3. Из этих равенств следует XA = XB = XC. Значит, X равноудалена от всех трёх точек A, B и C. Числовое значение расстояния определить нельзя без дополнительных данных о фигуре.

Ответ: искомая точка — пересечение серединных перпендикуляров к AB и BC; расстояния от неё до A, B и C равны. При пересечении этих прямых X совпадает с O и P, если обе данные точки являются одной и той же точкой пересечения.

Типичные ошибки

• Называют серединным перпендикуляром любую прямую, проходящую через середину отрезка. Это происходит, когда помнят только слово «серединный» и забывают о прямом угле. Проверьте себя: прямая должна не только делить отрезок пополам, но и быть перпендикулярной ему.

• Считают, что точка, равноудалённая от концов, обязательно является серединой самого отрезка. Так бывает, если смешать равные расстояния до концов с равными частями отрезка. Проверьте, о каких расстояниях говорится: равноудалённая точка может быть вне отрезка, но лежит на его серединном перпендикуляре.

• Применяют прямое свойство вместо обратного или наоборот, не сверив условие. Обычно причина в том, что оба утверждения связывают одну прямую и равные расстояния. Проверьте направление рассуждения: «точка на прямой» даёт равенство расстояний, а «расстояния равны» даёт принадлежность прямой.

• Полагают, что серединный перпендикуляр проходит через конец отрезка. Его путают с произвольной перпендикулярной прямой. Чтобы проверить построение, найдите место пересечения прямой с отрезком: оно должно быть серединой, а не одним из концов.

Связь с другими темами

Для построения серединного перпендикуляра нужны знакомые понятия середины отрезка и перпендикулярных прямых, а для доказательства свойства — равенство треугольников. Это помогает связывать чертёж с рассуждением: геометрические условия превращаются в равенства сторон и расстояний. Теорема пригодится при построении центра окружности, проходящей через заданные точки, и в доказательствах равенства расстояний. Она также используется при изучении геометрических мест точек и построений циркулем и линейкой.

Что запомнить

• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка.
• Серединный перпендикуляр перпендикулярен отрезку.
• Каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.
• Серединный перпендикуляр — геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.