21. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Определения и обозначения

Прямоугольными называются треугольники, у которых один из углов прямой, то есть равен 90°. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой, а две стороны, образующие этот угол, — катетами. Такое название сторон помогает точно описывать данные задачи: например, отличать гипотенузу от катета, даже если треугольник на рисунке повернули.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то эти треугольники равны. Угол между катетами в обоих случаях прямой, а значит, он тоже равен. Поэтому можно применить общий признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

Признак по гипотенузе и катету утверждает: если гипотенуза и один катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и одному катету другого, то треугольники равны. Вторые катеты при этом отдельно задавать не нужно. Их равенство можно вывести по теореме Пифагора.

Есть также признаки по катету и острому углу, а также по гипотенузе и острому углу. Острый угол — угол меньше 90°; в прямоугольном треугольнике такими являются два угла, кроме прямого. Эти признаки позволяют доказывать равенство, даже если известны не две стороны, а сторона и подходящий угол.

Как это устроено

У любого прямоугольного треугольника прямой угол равен 90°, поэтому прямые углы двух таких треугольников равны между собой. Это уже даёт один общий элемент, не требующий дополнительного условия задачи. Чтобы применить общий признак равенства треугольников, остаётся установить равенство подходящих сторон или одного острого угла вместе со стороной.

Если равны два катета, то известны две стороны и угол между ними: этот угол прямой в каждом треугольнике. Значит, выполняются условия общего признака по двум сторонам и углу между ними. Поэтому прямоугольные треугольники с соответственно равными катетами равны; важно сопоставлять именно соответствующие катеты, а не просто любые две стороны.

Для признака по гипотенузе и катету можно использовать теорему Пифагора. В каждом треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, поэтому при равных гипотенузах и одном катете квадрат второго катета тоже получается одинаковым. Длины сторон положительны, следовательно, вторые катеты равны; после этого применим признак по двум катетам.

Пусть равны катет и один острый угол двух прямоугольных треугольников. Их прямые углы тоже равны, а третий угол каждого треугольника определяется из суммы углов 180°: он равен 180° минус прямой угол и данный острый угол. Так получаем сторону и два прилежащих к ней угла либо сторону и два равных угла; по общему признаку по стороне и двум углам треугольники равны.

Если равны гипотенузы и острые углы, то кроме гипотенуз равны прямые углы и заданные острые углы. В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит напротив прямого угла, поэтому она соответствует гипотенузе другого треугольника; далее применяем общий признак по стороне и двум углам. Выбирай признак по тем данным, которые есть: две стороны — ищи угол между ними, сторона и угол — проверь, есть ли ещё равные углы, а гипотенузу всегда сначала найди напротив прямого угла.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В таблице собраны данные, достаточные для доказательства равенства, и основа каждого обоснования. Сначала найди строку, соответствующую условию задачи, затем проверь, что стороны и углы сопоставлены правильно. Если нужной пары данных нет, выбранный признак применять нельзя.

Разбор задач

Задача 1. Два прямоугольных треугольника имеют соответственно равные катеты 3 см и 4 см. Докажите их равенство.
Решение. 1. Обозначим треугольники ABC и DEF так, чтобы прямые углы были при вершинах C и F. 2. По условию катеты одного треугольника равны соответствующим катетам другого: AC = DF и BC = EF. 3. Угол C равен углу F, поскольку оба прямые. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по двум катетам.
Ответ: треугольники ABC и DEF равны при указанном соответствии вершин.

Задача 2. В прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному катету. Докажите равенство треугольников и укажите соответствующие стороны.
Решение. 1. Обозначим треугольники ABC и DEF, где углы C и F прямые. 2. Пусть AB = DE — гипотенузы, а AC = DF — равные катеты. 3. По теореме Пифагора BC² = AB² − AC², а EF² = DE² − DF²; равенство исходных сторон даёт BC² = EF², значит, BC = EF. 4. Теперь равны оба катета, поэтому треугольники равны по двум катетам. Соответствуют AB и DE, AC и DF, BC и EF.
Ответ: ABC = DEF в порядке соответствия A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F.

Задача 3. В прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному острому углу. Докажите равенство треугольников, а затем найдите неизвестную сторону одного из них, если соответствующая сторона другого равна 7 см.
Решение. 1. Обозначим треугольники ABC и DEF, где прямые углы расположены при C и F. 2. Пусть AB = DE, а острые углы A и D равны. Углы C и F также равны как прямые, поэтому треугольники равны по стороне и двум углам. 3. Равные треугольники имеют равные соответствующие стороны. Если искомой стороне соответствует сторона длиной 7 см, то её длина тоже равна 7 см.
Ответ: треугольники равны; неизвестная сторона равна 7 см.

Типичные ошибки

Иногда гипотенузу путают с катетом или считают, что она должна быть горизонтальной на рисунке. На деле её определяют только по прямому углу: она лежит напротив него, и в обычном прямоугольном треугольнике длиннее каждого катета. Чтобы проверить себя, сначала отметь прямой угол, а затем найди противоположную сторону.

Равенства одного катета недостаточно для доказательства равенства треугольников. Его принимают за достаточное условие, потому что сторона совпадает, но другой треугольник может иметь иной размер или форму. Проверь, есть ли ещё одно нужное равенство: второго катета, гипотенузы или подходящего угла.

Заданный угол должен быть острым и относиться к правильному треугольнику и стороне. Ошибка возникает, если сравнивают углы при несоответствующих вершинах либо принимают прямой угол за острый. Отметь прямые углы, подпиши равные острые углы и проверь, какой стороне каждый из них соответствует.

При записи равенства треугольников вершины иногда перечисляют в случайном порядке. Тогда запись ошибочно сообщает, что равны не те стороны, хотя сам признак выбран правильно. Составь пары соответствующих вершин по равным углам, а затем расположи названия треугольников так, чтобы эти вершины стояли на одинаковых местах.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение прямоугольного треугольника, названия его сторон, сумма углов треугольника и общие признаки равенства. Без них нельзя определить, какие данные уже известны и какое обоснование применить. Повтори, как распознавать равные элементы и записывать соответствие вершин.

Теорема Пифагора связывает длины катетов и гипотенузы, поэтому помогает обосновать признак по гипотенузе и катету и находить неизвестные стороны. Признаки равенства используются дальше в доказательствах равенства фигур и задачах о свойствах прямоугольных треугольников. Установив равенство треугольников, можно переносить известную длину или угол на соответствующий элемент другого треугольника.

Что запомнить

• В прямоугольных треугольниках прямые углы равны.
• Достаточно установить равенство двух катетов.
• Достаточно установить равенство гипотенузы и одного катета.
• Равенство катета и острого угла позволяет доказать равенство треугольников.
• Равенство гипотенузы и острого угла также является признаком равенства.
• Перед применением признака установи соответствие вершин, сторон и углов.