6.1. Понятие о расстоянии

Определения и обозначения

Расстоянием между двумя точками называют длину отрезка, который их соединяет. Для точек A и B это расстояние обозначают AB, то есть так же, как длину отрезка AB. Такое правило позволяет свести вопрос о расстоянии к измерению одного отрезка. Если точки совпадают, соединяющий их отрезок имеет длину ноль, поэтому расстояние между ними равно нулю.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Перпендикуляр — это прямая или отрезок, образующий с другой прямой прямой угол; его основание лежит на прямой. Например, если из P на прямую l опустили перпендикуляр PH, расстояние от P до l равно длине PH. Это определение указывает, какой именно отрезок нужно измерить.

Расстоянием между параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из них до другой прямой. Чтобы его найти, из выбранной точки проводят перпендикуляр к другой прямой и измеряют его длину. Выбор точки не меняет результата: расстояние одинаково в любом месте параллельных прямых. Это позволяет измерить его там, где удобнее выполнить построение.

Как это устроено

Расстояние между точками задаётся длиной соединяющего их отрезка, а не его положением на листе. Можно повернуть чертёж или перенести отрезок, но его длина при этом не изменится. Поэтому наклонённый на рисунке отрезок может быть таким же длинным, как горизонтальный, если их длины равны. В задаче нужно смотреть на обозначенную длину, а не на то, как отрезок выглядит.

Чтобы понять, почему кратчайший путь от точки до прямой проходит по перпендикуляру, сравним его с наклонным отрезком. Пусть PH перпендикулярен прямой l, а PK наклонён к ней; точки H и K лежат на l. Отрезки PH и HK образуют прямоугольный треугольник, а PK — его гипотенуза, то есть сторона напротив прямого угла. Гипотенуза длиннее каждого из катетов, поэтому PK длиннее PH и перпендикуляр даёт кратчайшее расстояние.

Чтобы построить расстояние от точки P до прямой l, через P проводят прямую, перпендикулярную l. Обозначают точку пересечения с l буквой H, так что PH — нужный перпендикуляр. Затем измеряют длину PH: она и является расстоянием от P до l. Если P уже лежит на l, перпендикулярный отрезок имеет длину ноль, поэтому расстояние равно нулю.

У параллельных прямых перпендикуляры, заключённые между ними, равны. Это следует из свойства параллельных прямых: если обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны; отрезки между ними на этих перпендикулярах задают одинаковую ширину полосы. Поэтому можно провести перпендикуляр из любой точки первой прямой и получить одно и то же расстояние. На практике выбирают точку, из которой удобнее провести и измерить отрезок.

Сначала определи, какие объекты заданы: две точки, точка и прямая или параллельные прямые. Для двух точек нужен соединяющий их отрезок, а для точки и прямой — перпендикуляр из точки на прямую. Для параллельных прямых также строят перпендикуляр, но его начало выбирают на одной прямой, а конец должен лежать на другой. Так исходные данные подсказывают нужное построение и помогают не измерить лишний отрезок.

Виды расстояний и способы их нахождения

Пользуйся таблицей так: сначала найди в первом столбце объекты из условия задачи. Затем прочитай, какой отрезок задаёт расстояние и что нужно измерить. Если речь идёт о прямой, проверь, что построен именно перпендикуляр.

Разбор задач

Точки A и B различны, AB = 5 см. Найдите расстояние между A и B. В условии уже дана длина отрезка, соединяющего обе точки, поэтому дополнительных построений не требуется.

1. Определи, какие объекты рассматриваются: две точки.
2. По определению расстояние между A и B равно длине отрезка AB.
3. Подставь данное значение: AB = 5 см.

Ответ: 5 см.

Из точки P вне прямой l проведены перпендикуляр PH и наклонный отрезок PK к прямой. Укажи расстояние от P до l и сравни его с PK. Здесь оба отрезка начинаются в P и заканчиваются на прямой, но только один из них перпендикулярен ей.

1. Найди отрезок, который образует с l прямой угол: это PH.
2. По определению расстояние от P до l равно длине перпендикуляра PH.
3. Отрезок PK наклонный. В прямоугольном треугольнике PHK он является гипотенузой, поэтому PK > PH.

Ответ: расстояние от P до l равно PH; PH < PK.

Параллельные прямые l и m пересечены перпендикулярами AB и CD: A, C лежат на l, B, D — на m. Если AB = 4 см, найдите расстояние между прямыми и CD. Оба отрезка перпендикулярны параллельным прямым и заключены между ними.

1. Определи вид расстояния: оно измеряется по перпендикуляру между прямыми.
2. Отрезок AB — такой перпендикуляр, поэтому расстояние между l и m равно AB = 4 см.
3. Перпендикуляры между параллельными прямыми равны, следовательно, CD = AB = 4 см.

Ответ: расстояние между прямыми — 4 см, CD = 4 см.

Типичные ошибки

Ошибка: за расстояние от точки до прямой принимают длину любого отрезка, соединяющего их. Так происходит, потому что наклонный отрезок тоже заканчивается на прямой и кажется подходящим. Проверь, образует ли отрезок прямой угол с прямой; если нет, это не расстояние. Измерять нужно длину перпендикуляра.

Ошибка: расстояние между прямыми ищут по произвольно выбранным точкам на них. Такой отрезок может оказаться наклонным, и его длина не показывает кратчайшее расстояние. Проверь, что отрезок перпендикулярен обеим параллельным прямым и соединяет именно их. Если это так, его длина задаёт расстояние между прямыми.

Ошибка: считают, что расстояние между точками меняется из-за направления или положения отрезка на рисунке. Изображение может быть повёрнуто, но поворот не меняет длину отрезка. Для проверки ориентируйся на его длину, а не на видимый наклон или направление. Расстояние определяется только длиной AB.

Ошибка: перпендикуляр проводят не из той точки или опускают не на ту прямую. Это случается, когда в условии не уточняют, между какими объектами нужно найти расстояние. Перед построением назови исходную точку и прямую, до которой измеряешь. Затем проверь, что отрезок начинается в этой точке, заканчивается на нужной прямой и образует прямой угол.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями нужно знать, что такое отрезок и его длина, уметь распознавать прямой угол и понимать, когда прямые перпендикулярны. Без этих понятий нельзя правильно выбрать отрезок для измерения. Свойство параллельных прямых помогает объяснить, почему расстояние между ними постоянно, а перпендикуляр — почему путь от точки до прямой кратчайший. Позже эти знания пригодятся при геометрических построениях и решении задач на параллельные прямые.

Что запомнить

• Расстояние между точками равно длине соединяющего их отрезка.
• Расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру.
• Перпендикуляр от точки к прямой короче любого наклонного отрезка к этой прямой.
• Расстояние от точки, лежащей на прямой, до этой прямой равно нулю.
• Расстояние между параллельными прямыми постоянно.
• Перпендикуляры между двумя параллельными прямыми равны.