"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Аксиома прямой линии утверждает: через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая. Она задаёт основу для рассуждений о прямых и их пересечении. Аксиому принимают без доказательства, а из неё выводят другие геометрические утверждения. Например, две различные прямые не могут иметь две общие точки: иначе через эти точки проходили бы две прямые, что противоречит аксиоме. Знание этого правила помогает обосновывать построения и решать задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Аксиома — исходное утверждение, которое принимают в геометрии без доказательства. На таких утверждениях строят дальнейшие рассуждения. Теорему, в отличие от аксиомы, доказывают, опираясь на аксиомы и другие известные положения.
Аксиома прямой линии утверждает: через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая. Первая часть гарантирует, что прямую через выбранные точки можно провести. Вторая исключает возможность провести через ту же пару другую прямую.
Принадлежность точки прямой показывает, лежит ли точка на прямой. Если точка A лежит на прямой a, записывают A ∈ a; символ ∈ читают «принадлежит». Если точка B не лежит на прямой a, пишут B ∉ a, то есть «B не принадлежит a».
Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие общую точку. Если две прямые имеют две общие точки, через эту пару точек проходят обе прямые. Аксиома позволяет заключить, что такие прямые совпадают, поэтому различные прямые не могут иметь две общие точки.
Геометрия начинается с небольшого набора исходных положений, потому что любое доказательство должно на что-то опираться. Аксиомы задают правила, которые принимают без доказательства, а из них шаг за шагом получают теоремы. Так рассуждение не превращается в бесконечный поиск доказательства каждого следующего утверждения. Аксиома прямой линии — одно из таких правил о точках и прямых.
Фраза «через любые две различные точки проходит прямая» связывает две точки с прямой, определяемой ими. Слово «проходит» выражает существование: нужная прямая есть. Слова «одна и только одна» выражают единственность: никакая другая прямая через эту пару не проходит. Обе части нужны, иначе мы не знали бы либо можно ли провести прямую, либо сколько таких прямых существует.
Чтобы проверить принадлежность точки прямой, смотрят на их расположение: точка либо находится на прямой, либо вне её. Для обозначения не требуется отдельный знак между словами: запись A ∈ a коротко сообщает, что A лежит на a. Запись B ∉ a сообщает обратное. Важно смотреть на объекты: слева стоит точка, справа — прямая.
Предположим, что две различные прямые имеют две общие точки. Тогда обе проходят через одну и ту же пару различных точек. Но аксиома утверждает, что через эту пару проходит только одна прямая. Получается противоречие, поэтому у различных прямых может быть не больше одной общей точки. Это не означает, что любые две прямые пересекаются: они могут не иметь общих точек.
В построении или доказательстве аксиому используют как готовое основание, а не пытаются доказать заново. Сначала указывают две различные точки, затем делают вывод, что через них проходит ровно одна прямая. Если требуется обосновать, что прямые совпадают или не могут быть различными, можно проверить, имеют ли они две общие точки. Такой ход связывает условие задачи с единственностью прямой.
| Ситуация | Что утверждается | Обоснование или запись |
|---|---|---|
| Две различные точки | Через них проходит ровно одна прямая | Аксиома прямой линии |
| Точка лежит на прямой | Точка принадлежит прямой | A ∈ a |
| Точка не лежит на прямой | Точка не принадлежит прямой | B ∉ a |
| Две различные прямые имеют общую точку | У них не может быть больше одной общей точки | Следствие из аксиомы |
В таблице удобно сначала найти описание ситуации, а затем прочитать, какой вывод из неё следует. Для точек на прямой дана запись, а для двух прямых — следствие, которое обосновывают аксиомой. В задачах следите, различны ли точки и прямые: от этого зависит, можно ли применять вывод.
Точки A и B различны. Сколько прямых можно провести через них? Здесь важно учесть обе части формулировки: наличие прямой и отсутствие второй такой прямой. Значит, ответ следует непосредственно из аксиомы прямой линии.
Ответ: ровно одну прямую.
Прямые a и b имеют общие точки A и B. Может ли быть, что a и b — различные прямые? Проверим предположение, что они различны. Если оно приводит к противоречию с аксиомой, значит, предположение неверно.
Ответ: нет, прямые a и b не могут быть различными; они совпадают.
Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек провели прямую. Сколько получилось различных прямых и почему? Сначала перечислим пары, а затем проверим, могут ли прямые для разных пар совпасть. Условие о том, что никакие три точки не лежат на одной прямой, исключает такое совпадение.
Ответ: три различные прямые — AB, AC и BC.
Ошибка — считать, что через две точки можно провести несколько прямых. Так думают, если запоминают только, что прямую можно провести, и забывают слова «только одна». Проверьте себя: в формулировке обязательно должна учитываться единственность, поэтому ответ для двух различных точек — ровно одна прямая.
Иногда пытаются доказать саму аксиому, как доказывают теорему. Причина — смешение исходного правила и утверждения, которое получают из других правил. Перед доказательством спросите себя, является ли положение аксиомой или выводом. Аксиому применяют как основание рассуждения, а не доказывают в рамках этой системы.
Неверно утверждать, что любые две прямые имеют общую точку. Пересекающиеся прямые действительно имеют общую точку, но некоторые прямые не пересекаются. Чтобы проверить вывод, выясните, сказано ли в условии, что прямые пересекаются или имеют общую точку; без этого нельзя утверждать, что такая точка существует.
Можно перепутать, кто кому принадлежит, в записи A ∈ a. Иногда символ читают так, будто прямая принадлежит точке, хотя он описывает положение точки относительно прямой. Проверка простая: слева указывают точку, справа — прямую; A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a, а A ∉ a — что не лежит.
Для этой темы нужно знать, что такое точка и прямая, и понимать, что точка может лежать на прямой или находиться вне её. Позже аксиома поможет разбирать взаимное расположение прямых и доказывать утверждения об их пересечении. Она также показывает общий способ работы в геометрии: свойства обосновывают цепочкой рассуждений, начиная с исходных аксиом. Поэтому умение находить, какие точки и прямые заданы, пригодится в следующих темах.
Почему аксиому прямой линии не доказывают?
Аксиома — исходное положение геометрии, которое принимают без доказательства. Из аксиом и уже доказанных теорем выводят другие утверждения. Если бы каждое положение требовало доказательства, рассуждение пришлось бы начинать бесконечно.
Что означает слово «только» в формулировке аксиомы?
Оно означает единственность: через две различные точки нельзя провести две разные прямые. Аксиома говорит не просто о том, что прямую провести можно, а о том, что такая прямая ровно одна.
Как записать, что точка не лежит на прямой?
Если точка B не лежит на прямой a, записывают B ∉ a. Символ ∉ читают «не принадлежит».
Могут ли две различные прямые иметь две общие точки?
Нет. Через две общие точки проходит только одна прямая, поэтому прямые с такими точками совпали бы. Значит, у двух различных прямых может быть не более одной общей точки.
Как по аксиоме найти число прямых, проходящих через несколько точек?
Нужно рассмотреть пары различных точек: через каждую пару проходит ровно одна прямая. Затем проверить, не совпадают ли прямые для разных пар; например, если три точки лежат на одной прямой, все три пары задают одну и ту же прямую.
§ 5. Аксиома прямой линии
