12.4. Расстояние между прямыми и плоскостями. Общие перпендикуляры

Определения и обозначения

Расстояние между двумя прямыми — длина их общей перпендикулярной, если прямые параллельны или скрещиваются; для пересекающихся прямых оно равно нулю. Общей перпендикулярной называют отрезок, концы которого лежат на этих прямых, а сам он перпендикулярен каждой из них. Это определение позволяет находить кратчайшее расстояние между прямыми, даже если они не лежат в одной плоскости.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Отрезок строят именно перпендикулярно плоскости, а не к произвольной точке на ней. Так получают величину, которая характеризует взаимное расположение прямой и плоскости и не меняется при выборе точки прямой.

Расстояние между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра, соединяющего эти плоскости. Его концы лежат в разных плоскостях, а отрезок направлен перпендикулярно обеим. Это определение помогает заменить поиск расстояния между множеством точек плоскостей построением одного специального отрезка.

Как это устроено

Расстояние между фигурами понимают как наименьшее расстояние между их точками. Поэтому для пересекающихся прямых оно равно нулю: у них есть общая точка, расстояние от которой до самой себя нулевое. Для непересекающихся прямых нужно найти пару точек, разделённых самым коротким соединяющим отрезком.

У скрещивающихся прямых такой кратчайший отрезок перпендикулярен обеим прямым. Если бы он образовывал с одной из них не прямой угол, можно было бы переместить его конец вдоль этой прямой и получить более короткий отрезок. Поэтому общая перпендикулярная не просто соединяет прямые, а обеспечивает минимальную длину; для двух скрещивающихся прямых она единственна.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости, и между ними можно провести перпендикулярный отрезок. Если сдвинуть его концы вдоль прямых, сохраняя перпендикулярность, длина не изменится: образуются прямоугольники с равными противоположными сторонами. Значит, расстояние можно измерить в удобном месте, а не обязательно возле заданных точек.

Когда прямая параллельна плоскости, её направление не приближает и не удаляет её от плоскости. Перпендикулярные отрезки от разных точек прямой образуют фигуру, в которой расстояние между прямой и плоскостью остаётся постоянным. Аналогично параллельные плоскости не сближаются и не расходятся, поэтому любой отрезок, перпендикулярный обеим и соединяющий их, имеет одинаковую длину.

В пространственной задаче общий перпендикуляр часто трудно увидеть сразу. Вспомогательная плоскость помогает построить нужный отрезок или доказать его перпендикулярность, а затем рассмотреть прямоугольный треугольник. Если известны два его катета, длину искомого отрезка находят по теореме Пифагора: c² = a² + b². Прежде чем вычислять, нужно обосновать, почему выбранный отрезок действительно задаёт расстояние.

Расстояния между прямыми и плоскостями

Сначала определи, какие объекты рассматриваются и как они расположены. Затем выбери способ построения отрезка, который задаёт расстояние, и проверь нужные условия перпендикулярности. Таблица помогает быстро связать положение объектов с подходящим построением.

Разбор задач

Расстояние между основаниями параллелепипеда

Задача: в прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ выразить через его размеры расстояние между плоскостями ABCD и A₁B₁C₁D₁. Обозначим длину бокового ребра AA₁ через c. Основания параллелепипеда параллельны, а боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

1. Рассмотрим отрезок AA₁: он соединяет две плоскости и перпендикулярен ABCD.
2. Плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны, поэтому AA₁ перпендикулярен и верхнему основанию.
3. По определению расстояние равно длине такого перпендикуляра, то есть AA₁ = c.

Ответ: c, высота параллелепипеда.

Скрещивающиеся прямые в кубе

Задача: в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найти расстояние между AB и CC₁. Прямая AB лежит в нижнем основании, а CC₁ — вертикальное ребро. Чтобы найти расстояние, нужно соединить эти прямые отрезком, перпендикулярным обеим.

1. Проведём BC. В квадрате основания BC ⟂ AB, а боковое ребро CC₁ перпендикулярно всей плоскости основания, значит, BC ⟂ CC₁.
2. Отрезок BC соединяет точку B на AB с точкой C на CC₁ и перпендикулярен обеим прямым. Следовательно, это общий перпендикуляр.
3. Длина BC равна ребру куба, поэтому расстояние между прямыми равно a.

Ответ: a. Указанное значение следует из общего перпендикуляра BC; формула a√2 для этих прямых была бы неверной.

Диагонали противоположных боковых граней

Задача: в прямоугольном параллелепипеде с рёбрами a, b и c найти расстояние между скрещивающимися прямыми AB₁ и CD₁ — диагоналями противоположных боковых граней. Считаем, что грани AB₁B A₁ и CD₁D C₁ разделены расстоянием b, то есть b — размер поперёк этих граней. Потребуется найти общий перпендикуляр, а не измерять произвольный отрезок между прямыми.

1. Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0), D(0,b,0); верхние вершины имеют координату z = c.
2. Направляющие векторы AB₁ и CD₁ лежат в плоскостях y = 0 и y = b, поэтому оба перпендикулярны направлению оси y. Прямые не параллельны и не пересекаются, значит, они скрещиваются.
3. Середина AB₁ имеет координаты (a/2, 0, c/2), а середина CD₁ — (a/2, b, c/2). Отрезок между ними направлен вдоль y, следовательно, перпендикулярен обеим диагоналям.
4. Длина этого отрезка равна b, так как координаты точек различаются только на b.

Ответ: b. Если размеры параллелепипеда обозначены иначе, искомое расстояние равно размеру, измеренному перпендикулярно этим противоположным граням.

Типичные ошибки

При скрещивающихся прямых иногда принимают за расстояние любой отрезок, соединяющий их. Он может быть наклонным и тогда окажется длиннее общего перпендикуляра. Проверь себя: его концы должны лежать на прямых, а сам отрезок — быть перпендикулярным обеим.

Можно ошибочно решить, что перпендикулярность одной прямой гарантирует перпендикулярность другой. Это верно не всегда: для общего перпендикуляра нужны два отдельных условия. Проверь его направление относительно каждой прямой, используя геометрические свойства или скалярное произведение направляющих векторов.

Расстояние от прямой до плоскости иногда ищут до произвольно выбранной точки плоскости. Такой отрезок обычно наклонный и не даёт кратчайшего расстояния. Нужно опустить перпендикуляр именно на плоскость; его основание может быть не той точкой плоскости, которую сначала выбрали.

Свойство постоянного расстояния до плоскости применяют и тогда, когда прямая пересекает плоскость. Так делать нельзя: в точке пересечения расстояние равно нулю, а на других участках оно меняется. Сначала установи взаимное расположение объектов и только после этого выбирай правило.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны признаки перпендикулярности прямой и плоскости и свойства параллельных прямых и плоскостей. При вычислениях помогают теорема Пифагора, свойства прямоугольных треугольников и умение находить длины отрезков в многогранниках. Эти знания позволяют перейти от пространственного построения к вычислению конкретной длины.

Расстояния применяются в задачах на углы и взаимное расположение объектов в пространстве. Позже ту же задачу можно решать координатным методом: задавать точки и прямые координатами и находить кратчайшее расстояние вычислениями. Геометрическое построение помогает понять, какой именно отрезок нужно вычислять.

Что запомнить

• Расстояние между фигурами — наименьшее расстояние между их точками.
• Расстояние между пересекающимися прямыми равно нулю.
• Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых перпендикулярен каждой из них.
• Длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых равна расстоянию между ними.
• Расстояние от прямой до параллельной плоскости постоянно.
• Расстояние между параллельными плоскостями измеряют перпендикуляром к обеим плоскостям.