"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Расстояние в пространстве — это длина кратчайшего отрезка между объектами, а кратчайший отрезок всегда перпендикулярен им. Для параллельных прямых, прямой и плоскости, параллельных плоскостей такое расстояние постоянно: его можно найти, выбрав удобную точку и построив общий перпендикуляр. Это помогает свести пространственную задачу к вычислению длины отрезка, например по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Перпендикуляром называют отрезок, который образует прямой угол с плоскостью. Это определение нужно, чтобы однозначно измерять, насколько далеко точка находится от плоскости.
Расстояние между параллельными прямыми — расстояние от любой точки одной прямой до другой; оно равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр пересекает обе прямые под прямым углом. Определение позволяет найти расстояние, построив один подходящий отрезок.
Расстояние между параллельными прямой и плоскостью — расстояние от любой точки прямой до плоскости. Основание перпендикуляра при этом лежит в плоскости, а сама прямая её не пересекает. Так задаётся постоянный промежуток между прямой и плоскостью.
Расстояние между параллельными плоскостями — расстояние от любой точки одной плоскости до другой; оно равно длине общего перпендикуляра. Этот отрезок перпендикулярен обеим плоскостям. Определение помогает заменить множество возможных пар точек одним измеряемым отрезком.
Перпендикуляр используют потому, что он задаёт кратчайшее расстояние. Если соединить точку с другой точкой прямой или плоскости наклонным отрезком, вместе с перпендикуляром получится прямоугольный треугольник. Наклонный отрезок будет его гипотенузой, а гипотенуза длиннее катета. Поэтому длина наклонного отрезка не может быть расстоянием.
Пусть прямая параллельна плоскости, а из двух её точек опущены перпендикуляры к плоскости. Оба перпендикуляра направлены по одной и той же нормали к плоскости, то есть по прямой, перпендикулярной ей. Вместе с отрезком исходной прямой они образуют прямоугольник: противоположные стороны параллельны, а углы прямые. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому длины перпендикуляров одинаковы. Значит, для нахождения расстояния можно выбрать любую точку прямой.
Для двух параллельных плоскостей перпендикуляры, проведённые из разных точек первой плоскости ко второй, имеют одно направление. Чтобы сравнить их длины, можно провести через эти перпендикуляры плоскость, перпендикулярную обеим параллельным плоскостям. В сечении получатся параллельные прямые, а перпендикуляры станут равными отрезками между ними. Поэтому выбор точки в первой плоскости не меняет расстояния.
Поиск расстояния сводится к построению: выбери точку на одном объекте и проведи из неё перпендикуляр к другому. Затем проверь, что отрезок действительно образует прямой угол и его основание лежит на нужном объекте. Если длина не дана, вырази её через известные стороны треугольника или фигуры сечения. Например, в прямоугольном треугольнике недостающую сторону находят по теореме Пифагора.
Параллельность помогает доказать, что построенные отрезки образуют прямоугольник или равные треугольники. Для этого используют признаки параллельности прямых и свойство: прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Если в сечении видны равные соответствующие углы или параллельные стороны, можно установить равенство нужных отрезков. Так свойства параллельности обосновывают и построение общего перпендикуляра, и постоянство расстояния.
В таблице указано, какой отрезок задаёт расстояние и что нужно проверить при построении. Сначала установи, какие именно объекты параллельны, затем определи положение перпендикуляра. При вычислениях используй размеры сечения и свойства прямоугольных треугольников.
| Пара объектов | Как определить расстояние | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Параллельные прямые | Длина общего перпендикуляра, соединяющего прямые | Его концы лежат на обеих прямых, а углы с ними прямые |
| Прямая и параллельная ей плоскость | Длина перпендикуляра от любой точки прямой до плоскости | Расстояние не меняется при выборе точки на прямой |
| Параллельные плоскости | Длина общего перпендикуляра между плоскостями | Перпендикуляр можно провести из любой точки одной плоскости |
| Положение общего перпендикуляра | Отрезок перпендикулярен обоим параллельным объектам | Проверь, что основания принадлежат нужным объектам |
Задача 1. Из точки A на одной из двух параллельных прямых проведён перпендикуляр AB к другой прямой. Длина AB известна и равна d. Найдите расстояние между прямыми. Решение:
Здесь вычислять ничего не требуется: известный перпендикуляр уже совпадает с отрезком, который по определению задаёт расстояние. Если дан наклонный отрезок вместо перпендикуляра, его длину нельзя сразу принять за расстояние. Сначала нужно построить общий перпендикуляр и найти его длину.
Задача 2. Прямая параллельна плоскости. Из точек A и B прямой опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на плоскость. Известно, что AA₁ = 5 см, а AB = 12 см. Найдите BB₁. Решение:
Постоянство расстояния позволяет обойтись без вычислений по данным о фигуре: все перпендикуляры от прямой до параллельной ей плоскости равны. Если бы требовалось найти длину наклонного отрезка, понадобились бы дополнительные сведения и прямоугольный треугольник. Здесь же ключевой шаг — обосновать, что получился прямоугольник.
Задача 3. Две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью. В сечении расстояние между прямыми пересечения равно h. Найдите расстояние между исходными плоскостями. Решение:
В задачах с другими размерами сечения сначала выясняют, какой отрезок в нём является высотой между параллельными линиями, а затем выражают его через данные. Например, если известны гипотенуза c и катет a прямоугольного треугольника, второй катет равен √(c² − a²). Нельзя подставлять в расчёт сторону сечения, не доказав, что она перпендикулярна плоскостям.
Принимать за расстояние наклонный отрезок. Такой отрезок может соединять нужные объекты, но он длиннее перпендикуляра, поэтому его длина завышает расстояние. Ошибку допускают, когда ориентируются только на то, что отрезок соединяет две фигуры. Проверь, образует ли он прямой угол с объектами; если нет, ищи перпендикуляр.
Считать расстояние зависящим от выбранной точки. Кажется, что разные точки дают разные отрезки, но у параллельных объектов длины соответствующих перпендикуляров равны. Это доказывают через прямоугольник, равные треугольники или сечение. Проверь, что построенные отрезки параллельны и образуют фигуру, в которой можно сравнить их длины.
Путать параллельность прямой плоскости с принадлежностью плоскости. Прямая, лежащая в плоскости, состоит из её точек, а параллельная прямая не пересекает плоскость. Путаница возникает из-за того, что оба положения могут изображаться рядом на чертеже. Проверь определение и убедись, что у параллельной прямой нет общей точки с плоскостью.
Строить перпендикуляр не к тому объекту или не проверять его основание. Прямой угол сам по себе недостаточен: отрезок должен быть перпендикулярен именно нужной прямой или плоскости. Основание также обязано лежать на объекте, до которого измеряют расстояние. Перед вычислением отметь оба конца отрезка и укажи, к чему относится каждый из них.
Для работы с расстояниями нужны определения параллельных прямых и плоскостей, а также перпендикулярности прямой и плоскости. Свойства перпендикуляра и наклонной объясняют, почему кратчайший отрезок выбирают под прямым углом. Тема пригодится при изучении углов и взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. Найденную длину часто вычисляют с помощью прямоугольного треугольника и теоремы Пифагора.
Почему расстояние между параллельными объектами измеряют именно перпендикуляром?
Перпендикулярный отрезок — кратчайший путь от точки до прямой или плоскости. Любой наклонный отрезок длиннее соответствующего перпендикуляра, поэтому его длина не задаёт расстояние.
Можно ли выбрать любую точку прямой, параллельной плоскости, чтобы найти расстояние до неё?
Да, расстояние от каждой точки такой прямой до плоскости одинаково. Поэтому можно выбрать ту точку, из которой удобнее провести перпендикуляр и выполнить вычисления.
Как доказать, что расстояние между двумя параллельными плоскостями постоянно?
Из любой точки первой плоскости проводят перпендикуляр ко второй. Все такие перпендикуляры параллельны, а их длины равны: иначе плоскости не оставались бы параллельными на всём протяжении.
Чем расстояние между параллельными прямыми отличается от длины произвольного отрезка между ними?
Расстояние равно длине общего перпендикуляра, соединяющего прямые. Произвольный отрезок между ними может быть наклонным и поэтому длиннее.
Как найти расстояние между параллельными плоскостями, если известны размеры сечения?
В сечении, перпендикулярном обеим плоскостям, нужно выделить отрезок, который представляет общий перпендикуляр. Если его длина не дана напрямую, её находят из полученного прямоугольного треугольника, например по теореме Пифагора.
12.5. Расстояние и параллельность
