"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Линейные операции над векторами — это сложение, вычитание и умножение вектора на число. С их помощью строят новые векторы из уже известных, задают направления и длины, а также записывают выражения вроде 2a − 3b. Сумму можно построить по правилу треугольника или параллелограмма, а разность — как сумму с противоположным вектором. При умножении на число длина меняется в соответствии с его модулем, а знак определяет направление.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма векторов a и b — вектор, полученный сложением этих векторов; его обозначают a + b. Геометрически результат показывает общее перемещение, если сначала выполнить перемещение a, а затем b. Эта операция нужна, чтобы описывать последовательные перемещения и строить новые векторы.
Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора с вектором, противоположным вычитаемому: a − b = a + (−b). Противоположный вектор −b имеет ту же длину, что и b, но направлен в обратную сторону. Такое определение позволяет свести вычитание к уже знакомому сложению.
Произведение вектора на число λ — вектор λa, длина которого зависит от модуля числа, а направление — от его знака. Положительный множитель сохраняет направление, отрицательный меняет его на противоположное. Операция позволяет растягивать, уменьшать или разворачивать вектор.
Линейная комбинация векторов a и b — выражение λa + μb, где λ и μ — числа. Сначала каждый исходный вектор умножают на соответствующее число, затем полученные векторы складывают. Такая запись объединяет все три линейные операции и помогает выражать один вектор через другие.
Чтобы построить сумму по правилу треугольника, начало второго вектора совмещают с концом первого параллельным переносом. Перенос не меняет длину и направление вектора, поэтому его значение остаётся тем же. Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго: именно такой общий результат дают два последовательных перемещения.
Для правила параллелограмма оба слагаемых располагают так, чтобы их начала совпали, и достраивают параллелограмм. Диагональ из общего начала показывает итоговое перемещение по двум направлениям сразу. Это то же построение, что и правило треугольника: боковая сторона параллелограмма переносит второй вектор к концу первого.
Разность строят как сумму a и вектора −b. Для этого у b сохраняют длину, но разворачивают его направление, а затем применяют правило сложения. Если начала a и b совмещены, можно сразу провести вектор от конца b к концу a: он и есть a − b, поскольку прибавление этого вектора к b приводит к a.
При умножении на число длина вектора становится равной |λ| · |a|: модуль показывает, во сколько раз длина увеличилась или уменьшилась. Если λ положительно, вектор направлен так же, как a; если отрицательно — в противоположную сторону. При λ = 0 длина равна нулю, поэтому получается нулевой вектор, у которого нет определённого направления.
Сложение переместительно: a + b = b + a, поскольку диагональ параллелограмма не зависит от того, какой стороной считать первый вектор. Оно также сочетательно: при сложении нескольких векторов можно по-разному расставлять скобки. Нулевой вектор не меняет сумму, а противоположные векторы дают нулевой вектор. Умножение распределяется по сложению: λ(a + b) = λa + λb и (λ + μ)a = λa + μa, потому что масштабирование действует на каждую составляющую.
| Операция | Обозначение и результат | Геометрическое построение | Основные свойства |
|---|---|---|---|
| Сложение векторов | a + b | Правило треугольника или диагональ параллелограмма | Переместительное и сочетательное; есть нулевой вектор |
| Вычитание векторов | a − b = a + (−b) | При общих началах — от конца b к концу a | Не переместительно; a − b = −(b − a) |
| Умножение вектора на число | λa; длина |λ| · |a| | Изменить длину по модулю множителя и учесть его знак | λ(a + b) = λa + λb; (λ + μ)a = λa + μa |
Сначала найдите в таблице нужную операцию, затем проверьте обозначение и построение. Столбец свойств помогает быстро оценить результат и заметить, например, ошибочную перестановку при вычитании.
Условие. Даны два вектора a и b с общим началом. Постройте вектор a + b по правилу параллелограмма.
Ответ: a + b = OC, где OC — диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала.
Условие. Даны векторы a и b. Постройте a − b и объясните направление результата.
Ответ: a − b = a + (−b); при общих началах вектор направлен от конца b к концу a.
Условие. Даны неколлинеарные векторы a и b. Постройте вектор 2a − 3b и выразите его через последовательность линейных операций.
Ответ: 2a − 3b = 2a + (−3b).
При сложении иногда просто совмещают начала векторов и проводят диагональ, не проверяя её направление. Так делают, потому что путают диагональ суммы с диагональю параллелограмма, начинающейся в другой вершине. Проверьте построение правилом треугольника: начало второго вектора должно стоять у конца первого, а сумма — идти от начала первого к концу второго.
При умножении на отрицательное число ошибочно меняют только длину, оставляя прежнее направление. Причина — внимание сосредоточено на множителе, который задаёт масштаб, а его знак забывают. Для проверки сначала определите знак λ: если он отрицательный, нарисуйте λa против направления a.
Считают, что a − b = b − a, перенося на вычитание переместительное свойство сложения. Но разность зависит от порядка: a − b = −(b − a), поэтому векторы противоположны, если результат не нулевой. Проверьте себя заменой вычитания сложением: a + (−b) и b + (−a) — разные выражения.
Ещё одна ошибка — умножать длину на λ, не учитывая, что длина не бывает отрицательной. Множитель может менять направление, но длину задаёт его модуль: |λa| = |λ| · |a|. При λ = 0 получается нулевой вектор; при λ < 0 направление меняется, а длина остаётся неотрицательной.
Для работы с линейными операциями нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также равные и противоположные векторы. Правила параллельного переноса объясняют, почему вектор можно перемещать, не меняя его самого, и прикладывать к концу другого вектора. Позже эти операции помогут раскладывать векторы по базису, решать задачи на координаты и изучать линейную зависимость векторов. Поэтому построения на чертеже связывают геометрический смысл с вычислениями.
Почему сумму векторов можно строить и по правилу треугольника, и по правилу параллелограмма?
Оба построения задают один и тот же вектор. В правиле треугольника второй вектор переносят так, чтобы его начало совпало с концом первого; диагональ параллелограмма из общего начала приводит к той же точке.
Чем вектор a − b отличается от вектора b − a?
a − b = a + (−b), а b − a = b + (−a), поэтому при перестановке векторов меняется направление результата. Эти векторы противоположны: a − b = −(b − a).
Что происходит с направлением вектора при умножении на отрицательное число?
Направление становится противоположным исходному. Например, −2a направлен противоположно a, а его длина вдвое больше длины a.
Как изменяется длина вектора при умножении на число?
Длина умножается на модуль числа: |λa| = |λ| · |a|. Поэтому при множителе −3 длина утраивается, хотя направление меняется на противоположное.
Можно ли складывать векторы, приложенные в разных точках?
Да. Вектор можно параллельно перенести, не меняя его длины и направления, и приложить к концу другого вектора. Такое построение и позволяет сложить векторы независимо от их исходного положения.
21.2. Линейные операции над векторами
