§ 22. Разложение вектора по базису

Определения и обозначения

Базис пространства — упорядоченная тройка некомпланарных векторов, через которую можно выразить любой вектор пространства. Некомпланарными называют векторы, не лежащие в одной плоскости. Базис служит выбранной системой направлений, относительно которой удобно описывать векторы.

Разложение вектора по базису — представление вектора в виде суммы базисных векторов, умноженных на числа. Например, запись a = x e₁ + y e₂ + z e₃ показывает, из каких составляющих складывается вектор a. Такое представление позволяет перейти от геометрического объекта к числам.

Коэффициенты разложения — числа, стоящие при базисных векторах; они называются координатами вектора в данном базисе. В записи a = x e₁ + y e₂ + z e₃ числа x, y и z — координаты a. Порядок важен: первая координата относится к e₁, вторая — к e₂, третья — к e₃.

Равные векторы — векторы с одинаковыми координатами в одном и том же базисе. Сравнивать нужно координаты с одинаковыми номерами, причём базис и порядок его векторов должны совпадать. Это определение превращает проверку геометрического равенства в сравнение чисел.

Как это устроено

Для базиса нужны именно три некомпланарных вектора, потому что пространство имеет три независимых направления. Если три вектора лежат в одной плоскости, то любые их суммы и умножения на числа тоже останутся в этой плоскости. Значит, ими нельзя получить вектор, направленный из плоскости наружу. Некомпланарность устраняет это ограничение и позволяет охватить всё пространство.

Чтобы представить вектор через базисные направления, нужно выделить его составляющие вдоль каждого из трёх направлений. Каждую составляющую можно записать как базисный вектор, умноженный на число: число задаёт длину составляющей, а его знак — направление относительно базисного вектора. Затем составляющие складывают по правилу сложения векторов. Так получается запись a = x e₁ + y e₂ + z e₃.

Любой вектор можно разложить по базису, потому что три базисных направления независимы и вместе задают всё пространство. Для каждого из них подбирается своя составляющая, а сложение этих составляющих приводит к исходному вектору. Разложение единственно: если бы один вектор имел две разные тройки коэффициентов, их вычитание дало бы нулевой вектор из ненулевых составляющих по независимым направлениям. Это невозможно для некомпланарных базисных векторов.

Коэффициенты разложения записывают в том же порядке, в каком заданы базисные векторы. Например, равенству a = 2e₁ − 3e₂ + e₃ соответствует тройка координат (2; −3; 1). Это не просто три числа: каждое из них связано с определённым направлением. При смене базиса вектор остаётся прежним, но его координаты могут измениться.

Координаты упрощают действия с векторами, поскольку разложение единственно. При сложении векторов складываются коэффициенты при одинаковых базисных векторах; при умножении на число каждый коэффициент умножается на это число. Например, если a = (x₁; y₁; z₁), то ka = (kx₁; ky₁; kz₁). Нельзя смешивать координаты с разными номерами: они относятся к разным направлениям.

Разложение вектора и действия с координатами

Сначала проверьте, что координаты записаны в одном базисе и в одинаковом порядке. Затем выберите строку таблицы, соответствующую действию, и примените её к каждой координате. Такая проверка помогает не перепутать направления при вычислениях.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде выразить диагональ через три вектора, задающие рёбра, выходящие из одной вершины. Обозначим общую вершину через O, а векторы вдоль рёбер — через a, b и c. Пусть диагональ, выходящая из O к противоположной вершине, обозначена d.

1. Представим путь от O к противоположной вершине как последовательность перемещений вдоль рёбер параллелепипеда.
2. Сначала пройдём вдоль ребра, задаваемого вектором a, затем перенесёмся параллельно ребру b, а потом — параллельно ребру c.
3. По правилу многоугольника вектор всего пути равен сумме векторов отдельных перемещений. Поэтому d = a + b + c.

Ответ: диагональ равна a + b + c. Порядок слагаемых можно менять, поскольку при сложении векторов результат не зависит от порядка.

Задача 2. В одном базисе даны векторы a = (2; −1; 4) и b = (3; 5; −2). Найдём координаты их суммы и разности. Поскольку базис общий, соответствующие координаты можно вычислять отдельно.

1. Для суммы складываем координаты с одинаковыми номерами: a + b = (2 + 3; −1 + 5; 4 + (−2)).
2. Выполняем вычисления: a + b = (5; 4; 2).
3. Для разности вычитаем координаты b из соответствующих координат a: a − b = (2 − 3; −1 − 5; 4 − (−2)) = (−1; −6; 6).

Ответ: a + b = (5; 4; 2), a − b = (−1; −6; 6). Важно не менять порядок вычитания: координаты a − b вычисляются именно как координаты a минус координаты b.

Задача 3. В одном базисе даны a = (2; −1; 4), b = (3; 5; −2) и равенство a + x = 2b. Найдём координаты x. Поскольку равенство векторов означает равенство их соответствующих координат, задачу можно свести к трём числовым уравнениям.

1. Выразим x: x = 2b − a.
2. Умножим координаты b на 2: 2b = (6; 10; −4).
3. Вычтем координаты a: x = (6 − 2; 10 − (−1); −4 − 4) = (4; 11; −8).

Ответ: x = (4; 11; −8). Проверка: a + x = (6; 10; −4), а это совпадает с 2b.

Типичные ошибки

Ошибка — считать базисом любые три вектора. Так можно сделать, если забыть проверить некомпланарность: три вектора одной плоскости не позволяют описать направление вне неё. Перед использованием базиса убедитесь, что векторы не лежат в одной плоскости. Если они компланарны, для пространства это не базис.

Координаты иногда записывают в другом порядке, не замечая, что каждое место соответствует определённому базисному вектору. Такая ошибка возникает, когда тройку чисел воспринимают как набор, а не как упорядоченную запись. Сверяйте номера координат с индексами векторов базиса. При перестановке базисных векторов нужно соответственно менять и способ записи координат.

Нельзя напрямую сравнивать координаты, заданные в разных базисах. Один и тот же вектор в разных базисах может иметь разные координатные тройки, поэтому различие чисел само по себе не доказывает различие векторов. Сначала проверьте, что базис совпадает. Если базисы разные, координаты нужно привести к одному базису.

При сложении можно по ошибке складывать координаты с разными номерами или перемножать соответствующие числа. Обычно это происходит из-за невнимательности при записи формулы. Записывайте тройки строго друг под другом и выполняйте одно и то же действие в каждом столбце. Для суммы проверьте, что получены x₁ + x₂, y₁ + y₂ и z₁ + z₂.

Связь с другими темами

Чтобы работать с разложением, нужно уметь складывать векторы, умножать вектор на число и применять правило многоугольника. Эти действия объясняют, почему составляющие по базисным направлениям можно соединить в один вектор. Координатная запись затем делает такие вычисления удобнее и точнее.

Разложение по базису используется в задачах на векторы в пространстве и помогает находить координаты точек через направленные отрезки. Оно также подготавливает к аналитическим методам геометрии, где геометрические отношения описывают с помощью чисел и уравнений. Поэтому навык перехода от векторов к координатам пригодится в дальнейших темах.

Что запомнить

• Базис пространства состоит из трёх некомпланарных векторов.
• Любой вектор пространства можно разложить по выбранному базису.
• Разложение по одному и тому же базису единственно.
• Координаты вектора — коэффициенты при базисных векторах.
• При сложении векторов складывают соответствующие координаты.
• При умножении вектора на число каждую его координату умножают на это число.