35.3. Разложение вектора по базису

Определения и обозначения

Базис пространства — упорядоченная тройка некомпланарных векторов, через которую можно выразить любой вектор пространства. Некомпланарные векторы не лежат в одной плоскости и задают три пространственных направления. Базис нужен, чтобы описывать векторы числами, а не только рисунком.

Разложение вектора по базису — представление вектора в виде суммы базисных векторов, умноженных на числа: a = x e₁ + y e₂ + z e₃. Здесь e₁, e₂, e₃ — выбранные базисные векторы, а a — вектор, который выражают через них. Такая запись позволяет перейти от геометрической задачи к вычислениям.

Коэффициенты разложения — числа x, y, z, показывающие, во сколько раз каждый базисный вектор входит в сумму. Коэффициент может быть нулевым или отрицательным, а отрицательный знак означает движение в противоположном направлении. Для заданного базиса эти числа определены однозначно, поэтому разложение можно восстановить по коэффициентам.

Координаты вектора в базисе — упорядоченная тройка коэффициентов разложения: (x; y; z). Порядок чисел соответствует порядку векторов e₁, e₂, e₃. Координатная запись нужна для краткого обозначения вектора и выполнения действий с ним.

Как это устроено

Три некомпланарных вектора образуют базис, потому что каждый следующий вектор добавляет направление, которого нельзя получить из предыдущих. Два неколлинеарных вектора задают плоскость: их линейные комбинации остаются внутри неё. Третий вектор, не лежащий в этой плоскости, позволяет выйти за её пределы. Поэтому с помощью всех трёх направлений можно составлять векторы во всём пространстве.

Чтобы представить вектор a через базис, нужно подобрать числа x, y, z и сложить векторы x e₁, y e₂ и z e₃. Умножение на число изменяет длину базисного вектора, а при отрицательном числе ещё и меняет его направление. Если расположить полученные векторы последовательно по правилу сложения, их сумма должна совпасть с a. Поэтому разложение — это способ собрать исходный вектор из трёх базисных составляющих.

Разложение существует потому, что заданную точку пространства можно достичь последовательными перемещениями в трёх независимых направлениях. Сначала выбирают перемещение вдоль e₁, затем вдоль e₂, после этого — вдоль e₃. Длины и направления этих перемещений задаются коэффициентами x, y, z. Для любого конца вектора такие перемещения можно подобрать, поскольку направления не ограничены одной плоскостью.

Коэффициенты разложения единственны: предположим, что один вектор удалось разложить двумя разными способами. Вычитая одно равенство из другого и перенося слагаемые, мы получили бы комбинацию базисных векторов, равную нулю, причём хотя бы один коэффициент был бы ненулевым. Это означало бы зависимость базисных векторов. Но некомпланарность исключает такую зависимость, поэтому два разных набора коэффициентов невозможны.

После выбора базиса каждому вектору соответствует ровно одна тройка коэффициентов, то есть его координаты в этом базисе. Смена порядка базисных векторов изменит порядок координат, а выбор другого базиса может изменить и сами числа. При этом геометрический вектор останется прежним: меняется только способ его описания. Поэтому, выполняя вычисления, нужно следить, чтобы все координаты были записаны относительно одного и того же базиса.

Элементы разложения вектора по базису

Таблица помогает различать сами векторы, числа в разложении и их координатную запись. Сначала проверьте, какие векторы выбраны базисом и в каком порядке, затем сопоставьте коэффициенты соответствующим направлениям. Свойства из последнего столбца пригодятся для проверки допустимости и единственности записи.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде три ребра, выходящие из вершины O, задают векторы e₁, e₂, e₃. Разложить вектор, равный диагонали параллелепипеда из O. Диагональ ведёт из O к противоположной вершине, поэтому нужно последовательно пройти вдоль всех трёх рёбер.

1. Отложим из O вектор e₁ вдоль первого ребра.
2. К его концу мысленно приложим перенос ребра e₂, затем перенос ребра e₃. Параллельный перенос сохраняет длину и направление каждого ребра.
3. По правилу сложения векторов сумма этих трёх перемещений соединяет O с противоположной вершиной.

Значит, диагональ d = e₁ + e₂ + e₃, а её координаты в этом базисе — (1; 1; 1). Коэффициент 1 у каждого вектора показывает, что диагональ проходит ровно одно ребро в каждом из трёх направлений. Ответ: d = e₁ + e₂ + e₃; (1; 1; 1).

Задача 2. В тетраэдре ABCD векторы AB, AC, AD приняты за базис. Разложить вектор BC. Вектор BC не выходит из A, поэтому сначала выразим его через векторы с началом A, используя правило треугольника.

1. Путь из B в C можно заменить путём из B в A, а затем из A в C: BC = BA + AC.
2. Так как BA = −AB, подставляем это равенство: BC = −AB + AC.
3. Упорядочим слагаемые согласно выбранному базису AB, AC, AD: BC = −AB + AC + 0AD.

Нулевой коэффициент при AD означает, что это направление для данного вектора не требуется. Координаты нужно записать в порядке базиса, а не в порядке, в котором векторы встретились в вычислении. Ответ: BC = −AB + AC; координаты (−1; 1; 0).

Задача 3. В базисе e₁, e₂, e₃ даны a = 2e₁ − e₂ + 3e₃ и b = e₁ + 2e₂ − e₃. Найти координаты вектора 2a − b. Для линейной комбинации векторов удобнее сначала подставить их разложения, а затем собрать однотипные слагаемые.

1. Подставляем выражения для a и b: 2a − b = 2(2e₁ − e₂ + 3e₃) − (e₁ + 2e₂ − e₃).
2. Раскрываем скобки, учитывая знак минус перед вторыми скобками: 4e₁ − 2e₂ + 6e₃ − e₁ − 2e₂ + e₃.
3. Группируем коэффициенты при одинаковых векторах: (4 − 1)e₁ + (−2 − 2)e₂ + (6 + 1)e₃ = 3e₁ − 4e₂ + 7e₃.

Теперь коэффициенты результата читаются в порядке e₁, e₂, e₃. Нельзя складывать числа, стоящие при разных базисных векторах: сначала каждое направление обрабатывают отдельно. Ответ: координаты 2a − b — (3; −4; 7).

Типичные ошибки

Считать базисом любые три вектора. Три компланарных вектора не дают направления за пределами общей плоскости, поэтому ими нельзя выразить любой вектор пространства. Такую ошибку допускают, ориентируясь только на количество векторов. Проверьте, не лежат ли все три в одной плоскости.

Менять порядок координат, не меняя порядок базиса. Например, если базис записан как e₁, e₂, e₃, координата x относится к e₁, y — к e₂, z — к e₃. Порядок иногда путают, потому что сама тройка чисел выглядит отдельно от разложения. Сверьте каждое число с коэффициентом при соответствующем векторе.

Складывать координаты разных базисных векторов как числа. Коэффициенты при e₁ нельзя объединять с коэффициентами при e₂: эти слагаемые задают разные направления. Ошибка возникает, если забыть векторную часть слагаемого и смотреть только на числа. Сгруппируйте сначала одинаковые базисные векторы, а потом сложите их коэффициенты.

Считать коэффициенты независимыми от базиса. Координаты описывают вектор относительно выбранных направлений, поэтому новый базис может дать другую тройку чисел. Коэффициенты путают с самим вектором, хотя это разные способы представления. Проверьте, указан ли базис; сравнивать координаты можно только при одинаковом базисе и порядке векторов.

Связь с другими темами

Для работы с разложением нужно уметь складывать векторы, умножать вектор на число и применять правило треугольника: эти действия позволяют составлять нужные комбинации. Также важно понимать критерий компланарности, чтобы распознавать тройку, которая действительно задаёт базис пространства. Позже координаты векторов помогут исследовать взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. В таких задачах геометрические условия переводят в отношения между координатами и коэффициентами.

Что запомнить

• Базис пространства состоит из трёх некомпланарных векторов.
• Любой вектор пространства раскладывается по выбранному базису.
• Разложение имеет вид a = x e₁ + y e₂ + z e₃.
• Для заданного базиса коэффициенты разложения единственны.
• Координаты вектора — упорядоченные коэффициенты его разложения.
• Координаты зависят от выбранного базиса.