35.2. Теорема о составляющих вектора

Определения и обозначения

Составляющая вектора по оси — это вектор, параллельный этой оси и входящий в разложение исходного вектора. Иначе говоря, составляющая показывает, какую часть перемещения исходного вектора можно отнести к одному выбранному направлению. Она сама остаётся вектором: у неё есть длина и направление. Это понятие позволяет рассматривать пространственный вектор отдельно по каждому из трёх направлений.

Разложение вектора по осям — представление вектора как суммы составляющих, параллельных координатным осям. При таком представлении пространственное перемещение описывают тремя простыми перемещениями вдоль осей. Сложив их, получают исходный вектор. Разложение нужно, чтобы перейти от геометрического рисунка к вычислениям с числами.

Координаты вектора — числа, задающие коэффициенты при единичных векторах осей в его разложении. Если единичные векторы обозначены i, j и k, то координаты (x; y; z) дают запись a = xi + yj + zk. Координата является числом, а соответствующая ей составляющая — вектором, например xi. Такое различие помогает не путать числовую запись с геометрическими объектами.

Как это устроено

Чтобы описать вектор в пространстве, сначала выбирают три координатные оси, проходящие в трёх независимых направлениях, и единичный вектор вдоль каждой из них. Единичные векторы задают положительные направления и общий масштаб измерения. Затем исходный вектор представляют как перемещение, которое можно выполнить последовательно вдоль этих трёх направлений. Каждое из трёх перемещений и есть составляющая по соответствующей оси.

Теорема утверждает, что любой вектор можно представить суммой трёх составляющих по координатным осям, причём такое разложение единственно. Возможность разложения связана с тем, что три выбранных направления охватывают всё пространство: перемещение в любом направлении можно выразить через перемещения вдоль них. Единственность означает, что для данного вектора и фиксированных осей существует только один подходящий набор составляющих. Поэтому координатная запись не зависит от того, каким способом мысленно раскладывали вектор.

Единственность разложения важна для того, чтобы координаты вектора имели определённый смысл. Если бы один и тот же вектор можно было разложить по тем же осям несколькими способами, его координаты не задавали бы однозначно. На практике это видно по правилу сложения: составляющие вдоль одной оси нельзя компенсировать составляющими вдоль другой, потому что они направлены параллельно разным осям. Значит, сумма по каждой оси должна точно соответствовать исходному вектору.

Обозначим единичные векторы осей через i, j, k, а координаты вектора a — через x, y, z. Тогда разложение записывается так: a = xi + yj + zk. Например, коэффициент x умножается именно на i, потому что это единичный вектор первой оси; два остальных коэффициента соответствуют своим осям. Порядок слагаемых связан с порядком координат и при чтении записи должен сохраняться.

Коэффициент показывает, сколько единичных векторов вдоль данной оси входит в составляющую. Если коэффициент равен 3, составляющая направлена вдоль положительного направления и имеет длину 3 единичных отрезка. Если коэффициент равен −2, она направлена в противоположную сторону и имеет длину 2 единичных отрезка. Поэтому знак координаты задаёт направление, а модуль числа — длину составляющей.

Составляющие вектора и его координаты

Чтобы прочитать таблицу, найдите нужную ось и сопоставьте ей единичный вектор, составляющую и координату. Число в последнем столбце умножается на вектор из второго столбца, образуя составляющую. Затем три составляющие складывают, сохраняя порядок осей.

Разбор задач

Запишите разложение вектора a с координатами (2; −1; 3) по координатным осям.

Координаты уже даны в установленном порядке: сначала для первой оси, затем для второй и третьей. Нужно использовать их как коэффициенты при единичных векторах i, j и k. Отрицательный знак у второй координаты сохраняется в разложении, поскольку он задаёт противоположное направление. Проверим соответствие каждого числа своей оси.

1. Первой координате 2 соответствует составляющая 2i.
2. Второй координате −1 соответствует составляющая −j.
3. Третьей координате 3 соответствует составляющая 3k.

Запишем составляющие в сумме: a = 2i − j + 3k. Коэффициенты идут в том же порядке, что и координаты в записи (2; −1; 3). Ответ: a = 2i − j + 3k.

Вектор a разложен как a = 4i − 2j + k. Укажите его координаты и составляющие.

В разложении каждое слагаемое относится к своей оси: i — к первой, j — ко второй, k — к третьей. Коэффициент перед единичным вектором и есть соответствующая координата. При этом составляющей является всё слагаемое-вектор, а не только его коэффициент. Поэтому отдельно выпишем числовую тройку и три составляющие.

1. Слагаемое 4i задаёт первую координату 4 и первую составляющую 4i.
2. Слагаемое −2j задаёт вторую координату −2 и вторую составляющую −2j.
3. Слагаемое k означает коэффициент 1 при k, поэтому третья координата равна 1, а составляющая — k.

Собираем координаты в том же порядке: (4; −2; 1). Составляющие — 4i, −2j и k; их сумма возвращает исходный вектор. Ответ: координаты a — (4; −2; 1), составляющие — 4i, −2j, k.

Даны векторы a = 2i + j − k и b = −i + 3j + 2k. Найдите координаты вектора a + b, используя разложения по осям.

Сначала сгруппируем слагаемые по направлениям: отдельно вдоль i, отдельно вдоль j и отдельно вдоль k. Это можно сделать, потому что сложение векторов допускает перестановку и группировку слагаемых. Коэффициенты при одинаковых единичных векторах складываются, а затем полученные коэффициенты становятся координатами суммы. Слагаемые разных осей попарно не объединяем.

1. По первой оси: 2i + (−i) = i, коэффициент равен 1.
2. По второй оси: j + 3j = 4j, коэффициент равен 4.
3. По третьей оси: −k + 2k = k, коэффициент равен 1.
4. Записываем сумму: a + b = i + 4j + k.

Коэффициенты при i, j, k образуют координаты в указанном порядке. Следовательно, координаты суммы равны (1; 4; 1). Ответ: a + b = i + 4j + k, координаты — (1; 4; 1).

Типичные ошибки

Координату принимают за составляющую, хотя координата — число, а составляющая — вектор. Это происходит потому, что в записи разложения они стоят рядом: например, 3 и 3i. Проверьте себя: у числа нет направления, а у вектора есть; здесь 3 — координата, 3i — составляющая.

Считают, что составляющая всегда направлена в положительную сторону оси. Так бывает, если при чтении замечают только величину коэффициента и теряют его знак. При отрицательной координате вектор направлен против соответствующего единичного вектора. Для проверки посмотрите на знак коэффициента: минус перед j означает направление, противоположное j.

Записывают координаты не в том порядке, который принят для осей, или переставляют их при переходе к разложению. Причина — попытка сопоставить числа с осями на глаз, не отслеживая обозначения i, j, k. Проверяйте каждую позицию: x относится к i, y — к j, z — к k. После этого сверяйте число и единичный вектор в каждом слагаемом.

Предполагают, что разложение можно выбрать несколькими способами при тех же осях. Такое впечатление может возникнуть, если произвольно менять длины отдельных составляющих, забывая, что их сумма должна остаться исходным вектором. Теорема гарантирует единственность разложения по фиксированным осям. Проверка проста: все составляющие должны сложиться в исходный вектор; другой набор по тем же осям этого условия не выполнит.

Связь с другими темами

Для работы с разложением нужно уметь пользоваться координатной системой в пространстве, понимать, что такое единичный вектор, и складывать векторы. Эти знания объясняют, откуда берутся три направления, что задаёт коэффициент и как составляющие объединяются в исходный вектор. Без согласованного порядка осей координатная запись теряет однозначность.

Разложение позволяет находить координаты вектора и выполнять сложение, отдельно работая с каждой осью. В дальнейшем такой способ помогает вычислять расстояния и углы в пространстве: геометрические задачи переводятся в отношения между координатами. Поэтому навык сначала разложить вектор, а затем сравнить или сложить его составляющие становится основой для многих пространственных вычислений.

Что запомнить

• Любой вектор в пространстве раскладывается по трём координатным осям.
• Разложение по фиксированным осям единственно.
• Составляющая — вектор, координата — число.
• Координаты являются коэффициентами при единичных векторах осей.
• Отрицательная координата задаёт составляющую против положительного направления оси.
• Векторы складывают, складывая соответствующие координаты.