35.1. Составляющие вектора

Определения и обозначения

Составляющая вектора — один из векторов, сумма которых равна данному вектору. Она показывает вклад исходного вектора в выбранном направлении: например, составляющая вдоль оси направлена параллельно этой оси. Такое представление помогает изучать пространственный вектор по отдельным направлениям.

Разложение по трём взаимно перпендикулярным направлениям — представление вектора в виде суммы трёх векторов, каждый из которых параллелен одному из этих направлений. Если составляющие обозначены a₁, a₂ и a₃, то a = a₁ + a₂ + a₃. Оно удобно, когда нужно выразить вектор через направления координатных осей.

Проекция вектора на ось — число со знаком, характеризующее составляющую вектора вдоль этой оси. Знак зависит от того, совпадает ли направление составляющей с выбранным положительным направлением оси. Проекция позволяет перейти от векторной величины к числовой при вычислениях вдоль одной оси.

Единичный вектор оси — вектор длины 1, направленный вдоль выбранного положительного направления оси. Он задаёт направление, а проекция становится коэффициентом при нём: составляющую можно записать как aₓeₓ, где aₓ — проекция, eₓ — единичный вектор. Так числовая характеристика и направление вместе задают вектор.

Как это устроено

Пусть в пространстве заданы три взаимно перпендикулярные оси и произвольный вектор. Через его начало проводят линии, параллельные осям, а через конец — плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получается параллелепипед, рёбра которого задают направления возможных составляющих. Перпендикулярность осей позволяет разделить движение по пространству на независимые направления.

Чтобы увидеть разложение геометрически, выбирают три ребра параллелепипеда, выходящие из начала исходного вектора. Если перенести их параллельно самим себе к концам друг друга, они образуют последовательные стороны пути. Исходный вектор становится диагональю параллелепипеда и соединяет начало этого пути с его концом. Поэтому каждая сторона пути представляет вклад вдоль одной оси.

Сумма составляющих восстанавливает исходный вектор не случайно: при сложении по правилу треугольника начало следующей составляющей совмещают с концом предыдущей. В итоге начало первой и конец последней совпадают с началом и концом исходного вектора. Перенос составляющих не меняет их длину и направление, поэтому полученный результирующий вектор равен исходному.

Составляющая вдоль оси — вектор, а проекция на эту ось — число. Модуль проекции равен длине составляющей, если она параллельна оси, а знак зависит от направления: по положительному направлению проекция положительна, против него — отрицательна. Например, при единичном векторе eₓ составляющая записывается как aₓeₓ. Так проекция сообщает числовую величину, а единичный вектор задаёт направление.

Разложение упрощает действия с векторами, потому что вклад каждого вектора вдоль одной оси можно рассматривать отдельно от остальных. При сложении складывают проекции на соответствующие оси, а при вычитании вычитают их. Чтобы сравнить векторы, достаточно проверить равенство их составляющих по всем трём осям. Такой способ заменяет пространственное построение несколькими действиями с числами.

Составляющие вектора и их проекции на координатные оси

Сначала определите, рассматривается ли в таблице вектор или число: составляющая является вектором, проекция — числом. Затем сверьте обозначение проекции с осью и учтите её знак. Для восстановления исходного вектора сложите три составляющие.

Разбор задач

Задача 1. Изобразите вектор и разложите его на составляющие, параллельные трём заданным взаимно перпендикулярным осям. Решение строится так, чтобы вклад каждого направления можно было увидеть как ребро одного параллелепипеда.

1. Отметьте начало A и конец B исходного вектора AB.
2. Через A проведите три луча, параллельных заданным осям, а через B — плоскости, параллельные координатным плоскостям. Они зададут параллелепипед с диагональю AB.
3. Обозначьте три ребра, выходящие из A, в порядке, соответствующем осям. Их направления показывают, как перемещаться по каждой оси, чтобы в сумме попасть из A в B.
4. Запишите AB = a₁ + a₂ + a₃. Переносить рёбра для последовательного сложения можно, поскольку параллельный перенос сохраняет вектор.

Ответ: составляющие — рёбра параллелепипеда из начала вектора, а исходный вектор — его диагональ. Проверка: последовательное откладывание рёбер приводит к концу диагонали.

Задача 2. Даны составляющие вектора вдоль трёх осей. Найдите исходный вектор и его проекцию на каждую ось. Пусть составляющие равны a₁ = 2eₓ, a₂ = −3eᵧ и a₃ = 4e_z, где eₓ, eᵧ, e_z направлены по положительным направлениям осей и имеют длину 1.

1. Сложите составляющие: a = 2eₓ − 3eᵧ + 4e_z.
2. Коэффициент при каждом единичном векторе равен проекции на соответствующую ось. Поэтому проекции равны 2, −3 и 4.
3. Проверьте знак второй проекции: составляющая −3eᵧ направлена против положительного направления второй оси, поэтому проекция отрицательна.

Ответ: a = 2eₓ − 3eᵧ + 4e_z; проекции на оси — 2, −3 и 4. Нельзя складывать 2, 3 и 4 как длины для получения вектора: направления составляющих различны.

Задача 3. Даны два вектора a = (2, −1, 3) и b = (−1, 4, 2), записанные через проекции на координатные оси. Найдите составляющие суммы и разности и проверьте равенство этих векторов. Здесь координатная запись кратко передаёт коэффициенты при единичных векторах осей.

1. Для суммы сложите соответствующие проекции: a + b = (2 + (−1), −1 + 4, 3 + 2) = (1, 3, 5).
2. Для разности вычтите проекции b из проекций a: a − b = (2 − (−1), −1 − 4, 3 − 2) = (3, −5, 1).
3. Сравните исходные векторы по каждой оси: первые проекции 2 и −1 уже не равны, значит, векторы не равны.

Ответ: a + b = (1, 3, 5), a − b = (3, −5, 1), а ≠ b. Проверка равенства требует совпадения всех трёх соответствующих проекций.

Типичные ошибки

Считать составляющую и её проекцию одним и тем же — значит смешивать вектор и число. Так ошибаются, потому что оба объекта описывают вклад вдоль одной оси. Проверка проста: составляющая имеет направление и длину, а проекция записывается числом со знаком.

Записывать только длину составляющей — значит терять сведения о её направлении. Такое случается, если забыть, что положительное направление оси выбирается заранее. Проверьте, куда направлена составляющая: по оси проекция положительна, против оси — отрицательна.

Складывать длины составляющих вместо самих векторов нельзя, поскольку они направлены вдоль разных осей. Ошибка возникает, когда сложение векторов принимают за сложение обычных чисел. Сложить как числа можно проекции на одну и ту же ось, а затем отдельно выполнить это для каждой оси.

Число составляющих не выбирают независимо от числа направлений разложения. В пространственном разложении по трём взаимно перпендикулярным осям берут три составляющие, по одной на каждую ось. Если составляющих оказалось больше или меньше, проверьте, какие направления заданы и соответствует ли им запись суммы.

Связь с другими темами

Для работы с составляющими нужны правила сложения и вычитания векторов, умножение вектора на число и свойства параллельного переноса. Разложение также опирается на прямоугольную систему координат и понятие проекции вектора на ось. Позже составляющие помогают находить координаты векторов, вычислять расстояния и работать со скалярным произведением в пространстве.

Что запомнить

• Составляющая вектора — вектор, а проекция на ось — число.
• Разложение представляет исходный вектор суммой составляющих.
• Составляющая параллельна соответствующей оси.
• Проекция учитывает не только длину, но и направление.
• В прямоугольной системе пространственный вектор раскладывают по трём взаимно перпендикулярным направлениям.
• Векторы равны, если равны их составляющие по каждой из осей.