§ 35. Разложение вектора на составляющие

Определения и обозначения

Разложение вектора на составляющие — представление вектора в виде суммы нескольких векторов, выбранных по заданным направлениям. Например, пространственный вектор можно представить как сумму трёх векторов, параллельных координатным осям. Такое представление нужно, чтобы вместо одного сложного перемещения рассматривать отдельные перемещения вдоль удобных направлений.

Составляющие вектора — векторы, сумма которых равна исходному вектору; каждая составляющая соответствует одному из выбранных направлений. Их обозначают, например, a⃗₁, a⃗₂ и a⃗₃, а исходный вектор записывают как a⃗ = a⃗₁ + a⃗₂ + a⃗₃. Это определение помогает не путать составляющие с длинами отрезков: составляющая обязательно имеет направление.

Разложение по трём осям — представление вектора как суммы векторов, параллельных трём координатным осям. Если оси обозначены Ox, Oy и Oz, каждую часть можно отнести к одной определённой оси. Такое разложение удобно в пространстве, потому что три независимых направления позволяют описать положение точки и перемещение в любом направлении.

Координатные составляющие — векторы вдоль координатных осей, длины и направления которых задаются координатами исходного вектора. При стандартных единичных векторах i⃗, j⃗, k⃗ запись имеет вид a⃗ = x i⃗ + y j⃗ + z k⃗. Она нужна для перехода от геометрического рисунка к вычислениям: координаты сразу показывают коэффициент каждой осевой составляющей.

Как это устроено

Разложение полезно потому, что в пространственной задаче часто трудно сразу работать с наклонным вектором. Если выбрать направления, связанные с координатными осями или рёбрами фигуры, движение можно описать по частям. Каждую часть проще измерить и сравнить с другими векторами, а общий результат затем восстановить сложением.

Чтобы построить разложение по трём осям, сначала отмечают начало и конец исходного вектора. Через его конец проводят прямые, параллельные координатным осям, и получают направления осевых составляющих; отрезки между соответствующими параллельными плоскостями задают их величины. Такое построение работает потому, что параллельный перенос не меняет вектор, а три осевых перемещения последовательно доводят точку до нужного положения.

Сумма составляющих равна исходному вектору не случайно: векторы можно переносить параллельно самим себе, сохраняя их длину и направление. Если приложить конец первой составляющей к началу второй, а затем продолжить цепочку третьей, правило многоугольника соединит начало первой с концом последней. В построении этот итоговый вектор совпадает с исходным, поскольку цепочка перемещений приводит в ту же конечную точку.

Координата задаёт коэффициент соответствующей осевой составляющей. Её абсолютная величина определяет длину в единицах выбранного масштаба, а знак показывает, в какую сторону от начала координат направлен вектор. Поэтому при координате −3 составляющая имеет длину 3 единицы, но направлена против положительного направления оси; отрицательной длины здесь нет.

При взаимно перпендикулярных координатных осях разложение единственно. Составляющая вдоль каждой оси должна попасть в положение конца исходного вектора, а направления осей уже зафиксированы. Если изменить величину хотя бы одной составляющей, конечная точка сдвинется вдоль этой оси и перестанет совпадать с концом исходного вектора.

Составляющие вектора в координатном разложении

В таблице x, y и z — координаты исходного вектора, а i⃗, j⃗ и k⃗ — единичные векторы вдоль осей. Чтобы записать разложение, умножьте единичный вектор каждой оси на соответствующую координату и сложите полученные векторы. Знак коэффициента учитывайте при определении направления составляющей.

Разбор задач

Составляющие диагонали параллелепипеда

Условие. На чертеже вектор проведён по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Постройте его составляющие, параллельные трём рёбрам, выходящим из его начала. Обозначим начало вектора через A, конец через C, а три направления рёбер из A — через Ox, Oy и Oz. Нужно получить три вектора, сумма которых равна AC⃗.

1. Через точку C проведите прямые, параллельные трём рёбрам, и отметьте соответствующие вершины параллелепипеда. Эти прямые задают направления, по которым можно разнести перемещение из A в C. Не меняйте ориентацию рёбер при переносе.
2. Обозначьте осевые перемещения через u⃗, v⃗ и w⃗. Их длины равны длинам соответствующих рёбер, а направления определяются тем, куда нужно двигаться от A к C. Если нужный ход направлен против выбранной стрелки ребра, составляющая будет противоположной.
3. Расположите векторы последовательно: сначала u⃗, затем v⃗ и w⃗. По правилу многоугольника их сумма соединяет A с C, поэтому AC⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.

Ответ. Составляющие — три вектора вдоль направлений рёбер из A, перенесённые параллельно к последовательной цепочке. Их сумма равна диагонали AC⃗; на чертеже следует сохранить направление каждой части.

Разложение вектора по координатам

Условие. Вектор задан координатами (2; −3; 1). Запишите его разложение по координатным осям. Пусть i⃗, j⃗, k⃗ — единичные векторы вдоль положительных направлений Ox, Oy и Oz. Координаты являются коэффициентами этих единичных векторов.

1. Первую координату 2 поставьте при i⃗: составляющая равна 2i⃗ и направлена вдоль положительной Ox. Её длина в выбранных единицах равна 2.
2. Вторую координату −3 поставьте при j⃗: составляющая равна −3j⃗. Минус показывает, что она направлена против положительного направления Oy, а её длина равна 3.
3. Третья координата 1 даёт составляющую k⃗ вдоль положительной Oz. Сложите три составляющие, сохраняя знаки их коэффициентов.

Ответ. a⃗ = 2i⃗ − 3j⃗ + k⃗. Отрицательна здесь только составляющая вдоль Oy, а не её длина.

Диагональ параллелепипеда и проверка координатами

Условие. В прямоугольном параллелепипеде заданы векторы вдоль рёбер и их длины. Требуется разложить вектор, соединяющий противоположные вершины, и проверить результат по координатам. Пусть длины трёх рёбер из начальной вершины равны a, b и c, а их положительные направления совпадают с движением к противоположной вершине. Для проверки направим координатные оси вдоль этих рёбер.

1. Путь к противоположной вершине состоит из трёх перемещений вдоль рёбер. Поэтому составляющие имеют вид a i⃗, b j⃗ и c k⃗, где коэффициенты положительны при совпадении направлений с осями.
2. Сложите составляющие по правилу многоугольника: диагональный вектор d⃗ равен a i⃗ + b j⃗ + c k⃗. Если одно ребро ориентировано против выбранной оси, замените соответствующий коэффициент на отрицательный.
3. Запишите координаты суммы: (a; b; c). Они совпадают с координатами перемещения между противоположными вершинами, потому что вдоль каждой оси пройдено ровно соответствующее ребро.

Ответ. d⃗ = a i⃗ + b j⃗ + c k⃗ при указанном выборе ориентации. Координатная проверка подтверждает разложение; при другой ориентации знаки нужно определить заново.

Типичные ошибки

Считать составляющими только длины отрезков — значит потерять направление перемещения. Так ошибаются, когда читают рисунок как набор расстояний, а не как векторную сумму. Проверка простая: у каждой составляющей должна быть стрелка или знак, задающий направление.

Если координата отрицательна, нельзя направлять составляющую в положительную сторону оси. Ошибка возникает из-за смешения координаты с длиной, которая действительно не бывает отрицательной. Проверьте знак: минус перед коэффициентом означает направление против положительной полуоси, а длина равна модулю коэффициента.

Складывать длины составляющих вместо самих векторов нельзя: длины не сообщают, куда направлены части. Такое сложение может дать число, но оно не описывает геометрический результат. Проверяйте цепочку по правилу многоугольника или складывайте отдельно координаты по каждой оси.

Нельзя менять направление осей или выбранных составляющих по ходу решения. Иначе один и тот же знак начинает означать разные направления, и в координатах появляются противоречия. Перед вычислениями зафиксируйте положительное направление каждой оси и сверяйте с ним все стрелки и коэффициенты.

Связь с другими темами

Для разложения нужны правило сложения векторов, понятие коллинеарности и координаты вектора в пространстве. Правило сложения объясняет, почему составляющие дают исходный вектор, а коллинеарность позволяет сопоставить каждую составляющую определённой оси. Координаты превращают геометрическую запись в удобный способ вычисления.

Разложение помогает находить координаты суммы и разности векторов: соответствующие координаты складывают или вычитают отдельно. В задачах на прямые и плоскости оно позволяет описывать направления и перемещения, а в задачах на расстояния — связывать геометрическую длину с координатами. Поэтому умение выделять осевые составляющие становится основой многих пространственных вычислений.

Что запомнить

• Вектор равен сумме своих составляющих.
• Составляющие — векторы, а не просто числа или длины.
• Координаты задают коэффициенты составляющих по координатным осям.
• Знак координаты определяет направление составляющей вдоль оси.
• Разложение по трём координатным осям определяется однозначно.