13.10. Разложение вектора на составляющие

Определения и обозначения

Разложение вектора на составляющие — это представление вектора в виде суммы нескольких векторов. Например, запись c = u + v означает, что вектор c получен сложением векторов u и v. Такое представление нужно, чтобы заменить сложное движение или перемещение несколькими более простыми частями.

Составляющие вектора — векторы, сумма которых равна исходному вектору. Если c = x·a + y·b, то составляющими c служат x·a и y·b, а a и b задают выбранные направления. Коэффициенты x и y показывают, во сколько раз изменяются векторы a и b; отрицательный знак означает направление, противоположное исходному.

Разложением по двум векторам a и b называют запись c = x·a + y·b, где a и b не параллельны. Непараллельность нужна потому, что два разных направления позволяют построить плоскость и определить в ней положение любого вектора. Если направления параллельны, получить таким способом произвольный вектор плоскости нельзя.

Как это устроено

Чтобы увидеть составляющие геометрически, отложим от одной точки векторы x·a и y·b. Из их концов проводим прямые, параллельные другим составляющим: получится параллелограмм. Его диагональ, проведённая из общей начальной точки, равна сумме составляющих, то есть исходному вектору c. Поэтому разложение связано с правилом параллелограмма: стороны показывают части, а диагональ — их общий результат.

Числа перед векторами позволяют подобрать нужные длины и направления. Например, 2·a направлен так же, как a, и вдвое длиннее, а −a имеет ту же длину, но направлен противоположно. Если коэффициент нецелый, например ½, соответствующий вектор будет вдвое короче. Это даёт возможность разложить вектор не только на целые части.

Если направления a и b не параллельны, разложение единственно. Действительно, через конец вектора c можно провести ровно одну прямую, параллельную b, и ровно одну прямую, параллельную a. Они задают единственный параллелограмм, а его стороны определяют составляющие. Значит, при заданных a и b нельзя получить другой набор коэффициентов x и y, который дал бы тот же c.

При работе с координатами тот же смысл выражается уравнениями. Координаты суммы находят отдельно по каждому направлению: если c = x·a + y·b, то координаты правой части должны совпасть с координатами c. Поэтому получают два уравнения с неизвестными x и y. Решив их, находят составляющие, а подстановка результата в исходную запись служит проверкой.

Как связаны коэффициенты и составляющие

Сначала посмотрите на коэффициент: он показывает длину и знак составляющей относительно выбранного вектора. Затем сложите составляющие по правилу параллелограмма или по координатам. Если результат совпал с исходным вектором, разложение выполнено верно.

Разбор задач

Разложим вектор c = (5; 1) по векторам a = (2; 1) и b = (1; −1). Координатная запись означает, что вектор a имеет первую координату 2 и вторую 1, а у b вторая координата равна −1. Нужно найти числа x и y, для которых c = x·a + y·b. Такой пример показывает, как геометрическое разложение можно найти вычислением.

1. Запишем искомое разложение: c = x·a + y·b. Неизвестны именно коэффициенты x и y, потому что сами направления уже заданы векторами a и b.

2. Подставим координаты: (5; 1) = x·(2; 1) + y·(1; −1). При умножении вектора на число каждую его координату умножаем на это число, поэтому правая часть равна (2x + y; x − y).

3. Приравняем соответствующие координаты. Для первых координат получаем 2x + y = 5, для вторых — x − y = 1. Координаты сравниваются по отдельности, поскольку равные векторы имеют одинаковые координаты.

4. Из второго уравнения выразим y = x − 1. Подставим в первое: 2x + x − 1 = 5, значит 3x = 6 и x = 2. Тогда y = 2 − 1 = 1.

5. Проверим подстановкой: 2·a + b = 2·(2; 1) + (1; −1) = (4; 2) + (1; −1) = (5; 1). Это координаты c, значит найденные коэффициенты верны.

Итак, c = 2·a + b. Составляющими являются векторы 2·a и b, а числа 2 и 1 показывают их связь с выбранными направлениями. В геометрическом изображении эти составляющие можно представить сторонами параллелограмма, а c — его диагональю.

Типичные ошибки

Ошибка: считать составляющими сами векторы a и b, забывая коэффициенты. Так происходит, когда запись c = x·a + y·b воспринимают как сумму заданных направлений, хотя длины составляющих могут быть другими. Проверьте, умножены ли векторы на найденные числа, а затем сложите именно полученные векторы.

Ошибка: не учитывать знак коэффициента. Отрицательное число означает не просто изменение длины, а разворот вектора в противоположную сторону. Чтобы проверить себя, представьте направление каждого слагаемого или посмотрите на знаки его координат.

Ошибка: приравнивать координаты векторов неправильно или сравнивать только одну координату. Обычно это случается, если забыть, что равные векторы должны совпадать по всем координатам. Составьте отдельное уравнение для каждой координаты, а затем проверьте ответ подстановкой в обе части.

Ошибка: применять разложение по параллельным направлениям как по двум независимым. Если a и b параллельны, эти направления не задают разные стороны параллелограмма, поэтому общее правило единственности здесь не работает. Перед решением убедитесь, что выбранные векторы не параллельны.

Связь с другими темами

Разложение использует сложение векторов и правило параллелограмма: составляющие складываются и дают исходный вектор. Умножение вектора на число объясняет, как меняются его длина и направление, поэтому без него нельзя записать составляющие по выбранным векторам. В координатах задача сводится к системе уравнений, а геометрический смысл помогает понять, что именно означают найденные числа.

Что запомнить

• Разложить вектор — значит представить его как сумму составляющих.
• Запись c = x·a + y·b показывает разложение c по векторам a и b.
• Отрицательный коэффициент меняет направление составляющей на противоположное.
• Два непараллельных направления позволяют единственным образом разложить вектор плоскости.
• Коэффициенты можно найти по координатам, приравнивая соответствующие координаты.
• Проверка: сложите найденные составляющие и убедитесь, что получился исходный вектор.