13.9. Признак коллинеарности векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Векторы обозначают маленькими латинскими буквами со стрелкой сверху или жирными буквами, например a или b. Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление, даже если их начала находятся в разных точках. Это позволяет сравнивать векторы, не привязывая их к одному месту на чертеже.

Коллинеарными называют векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть направлены одинаково или противоположно, поэтому слово «коллинеарные» не означает «одинаково направленные». Нулевой вектор, длина которого равна нулю, считают коллинеарным любому вектору. Это соглашение позволяет использовать признак и в особом случае, когда направления у нулевого вектора нет.

Координаты вектора — числа, показывающие, насколько его составляющие направлены вдоль координатных осей. На плоскости вектор с координатами (x; y) можно записать через базисные векторы i и j: a = xi + yj. Здесь x и y показывают вклад вдоль первой и второй осей. Такая запись заменяет геометрическую картинку вычислениями с числами.

Кратным вектором называют вектор, полученный умножением другого вектора на число: b = ka. При положительном k направление сохраняется, а при отрицательном меняется на противоположное. Длина нового вектора равна длине исходного, умноженной на модуль k. Понятие кратности нужно, чтобы описать коллинеарность одной короткой записью.

Как это устроено

Представь два ненулевых коллинеарных вектора, отложенных на одной прямой. Если они направлены одинаково, один можно получить из другого растяжением или уменьшением; если противоположно — ещё и разворотом на 180°. Поэтому существует число k, для которого b = ka: его модуль показывает, во сколько раз отличаются длины, а знак — совпадают ли направления. Именно это объясняет, почему коллинеарные ненулевые векторы связаны общим множителем.

При умножении вектора на положительное число его длина меняется, но направление остаётся прежним. Если множитель отрицательный, длина меняется в |k| раз, а вектор разворачивается в противоположную сторону. В обоих случаях новый вектор остаётся на той же прямой или на прямой, параллельной исходной. Значит, умножение на число не нарушает коллинеарность.

Получаем признак: два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один равен произведению другого на число. Слово «тогда и только тогда» означает, что верны обе стороны утверждения: кратные векторы коллинеарны, а любые коллинеарные ненулевые векторы можно связать множителем. Если один из векторов нулевой, коллинеарность устанавливается отдельно по принятому соглашению. На чертеже признак помогает понять взаимное расположение векторов, а в вычислениях — заменить его равенством.

Пусть координаты векторов равны (x₁; y₁) и (x₂; y₂). Если второй вектор равен первому, умноженному на k, то координаты тоже умножаются на это число: x₂ = kx₁ и y₂ = ky₁. Поэтому для коллинеарности требуется один общий множитель для обеих координат. Если координата равна нулю, не дели на неё: проверь равенство через k, например 0 = k · 0.

Признак работает и в обратном направлении: если векторы коллинеарны, один ненулевой вектор получается из другого умножением на число. Тогда тот же множитель связывает обе пары соответствующих координат. Например, если первая координата увеличилась в три раза, вторая тоже должна увеличиться в три раза; иначе общего множителя нет. Эта проверка помогает обнаружить ошибку до того, как будет записан вывод.

Как распознать коллинеарные векторы

Сначала определи, как заданы векторы: чертежом или координатами, — и выбери соответствующую строку таблицы. При координатах ищи один множитель, который подходит сразу к обеим координатам. Если встречается нулевой вектор, используй отдельное правило.

Разбор задач

Задача 1

Даны векторы a и b, причём b = −3a. Нужно установить, коллинеарны ли они, и сравнить их направления. Здесь уже указано, как один вектор связан с другим, поэтому вычислять координаты не требуется. Проверим, что означает множитель −3.

1. Сравним запись с признаком: b равен числовому множителю, умноженному на a.
2. Значит, b и a коллинеарны, поскольку кратный ненулевой вектор лежит на той же или параллельной прямой.
3. Множитель отрицательный, поэтому b направлен противоположно a; его длина в три раза больше.

Ответ: векторы коллинеарны и направлены противоположно. Число 3 показывает отношение длин, а знак минус — направление. Если бы множитель был положительным, векторы были бы сонаправлены.

Задача 2

Даны p = (2; −4) и q = (−3; 6). Проверим, коллинеарны ли эти векторы. По координатному признаку надо найти один множитель, подходящий к обеим координатам. Важно сравнить пары координат в одном и том же порядке.

1. Для первой координаты получаем −3 = k · 2, откуда k = −1,5.
2. Проверим вторую: (−1,5) · (−4) = 6, что совпадает со второй координатой q.
3. Один и тот же множитель подходит для обеих координат, значит, q = −1,5p.

Ответ: векторы коллинеарны. Отрицательный множитель показывает, что они направлены противоположно. Проверка второй координаты обязательна: совпадение только по первой ещё не доказывает коллинеарность.

Задача 3

Даны a = (m; 4) и b = (6; 12); требуется найти m, при котором векторы коллинеарны. Не будем сразу делить 6 на m: неизвестное m может оказаться нулём. Вместо этого запишем условие через общий множитель k.

1. Пусть b = ka. Тогда координаты должны удовлетворять равенствам 6 = km и 12 = 4k.
2. Из второго равенства находим k = 3. Подставляем его в первое: 6 = 3m.
3. Решаем уравнение и получаем m = 2. Проверка: (6; 12) = 3 · (2; 4).

Ответ: m = 2. При найденном значении обе координаты b получаются умножением соответствующих координат a на одно число 3. Такой способ не требует делить на выражение с неизвестным и надёжно учитывает обе координаты.

Типичные ошибки

Ошибка — считать коллинеарными только векторы, направленные одинаково. Так думают, потому что слово легко спутать с равенством векторов, но противоположные направления тоже лежат на одной линии. Проверь знак множителя: отрицательный знак не отменяет коллинеарность, а указывает на противоположное направление. Равными такие векторы при этом не становятся.

Ошибка — подобрать для каждой координаты свой множитель. Например, первая координата может увеличиться в два раза, а вторая — в три, но это не даёт одного равенства вида b = ka. Для проверки найди k по одной координате и обязательно подставь его во вторую. Если один k не подходит к обеим, векторы не коллинеарны.

Ошибка — делить координаты, не проверив знаменатель. Деление на ноль невозможно, а нулевая координата сама по себе не мешает применить признак. Запиши равенства x₂ = kx₁ и y₂ = ky₁ и реши их с учётом нулевых значений. Так ты не потеряешь подходящие случаи и не получишь бессмысленных вычислений.

Ошибка — исключать нулевой вектор из рассмотрения. У него нет направления, поэтому может показаться, что сравнить его с другим вектором нельзя. Но по определению нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Проверяя задачу, сначала выясни, не является ли один из векторов нулевым, а затем используй это правило.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о векторах, равных и противоположных векторах, а также об умножении вектора на число. При координатной проверке пригодятся координаты вектора и умение решать простые уравнения. Признак коллинеарности помогает доказывать параллельность прямых: если направляющие векторы прямых коллинеарны, прямые имеют параллельные направления. Он также упрощает задачи, где положение векторов задано координатами.

Что запомнить

• Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один является числовым множителем другого.
• Отрицательный множитель задаёт противоположное направление.
• В координатах для коллинеарности нужен один общий множитель для обеих координат.
• Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.