"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Умножение вектора на число — действие, которое меняет длину вектора, а при отрицательном множителе ещё и его направление. Результат обозначают ka: число k задаёт, во сколько раз изменить модуль вектора a, а его знак — сохранить направление или развернуть вектор. Это действие помогает строить векторы, сравнивать их и выражать один вектор через другой. Его свойства пригодятся для упрощения выражений и решения задач с коллинеарными векторами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение вектора на число — операция, которая по вектору a и числу k задаёт новый вектор, обозначаемый ka. Число k называют множителем, а ka — произведением вектора на число. Такая запись позволяет получить вектор нужной длины, не меняя его направление или меняя его на противоположное.
Если k положительно, вектор ka направлен так же, как a; если k отрицательно — в противоположную сторону. Само направление при этом не становится «отрицательным»: меняется лишь то, куда указывает вектор. Это правило помогает отличать множитель, который растягивает вектор, от множителя, который его разворачивает.
Модуль произведения, то есть длина вектора ka, равен |k|·|a|. Здесь |k| — модуль числа, а |a| — длина исходного вектора; модуль числа нужен потому, что длина не может быть меньше нуля. По этой формуле можно заранее определить, насколько длинным будет результат.
При умножении на ноль получается нулевой вектор: 0a = 0. При умножении на −1 получается вектор, противоположный a, и это записывают как (−1)a = −a. Эти два случая связывают умножение с уже знакомыми нулевым и противоположными векторами.
Чтобы построить ka при k > 0, сначала сохрани направление вектора a, а затем отложи в этом направлении отрезок длиной k|a|. Причина такого построения в том, что положительный множитель не меняет сторону, в которую направлен вектор, а его величина задаёт изменение длины. Например, если k = 2, новый вектор будет вдвое длиннее a; если k = ½ — вдвое короче.
Если k < 0, построй вектор в направлении, противоположном a, и возьми длину |k|·|a|. Знак минус указывает на разворот, но длину определяет именно модуль множителя. Поэтому для k = −3 результат направлен обратно и втрое длиннее исходного, а не имеет «отрицательную длину».
При k = 0 множитель обнуляет длину: |0a| = |0|·|a| = 0, значит, результат — нулевой вектор. Если исходный вектор a сам нулевой, то |ka| = |k|·0 = 0 при любом числе k. В обоих случаях нельзя задавать обычное направление результата, потому что у нулевого вектора направления нет.
Если a и k не равны нулю, произведение ka коллинеарно a: эти векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это следует из построения: новый вектор направлен вдоль a либо в обратную сторону, а не под углом к нему. Поэтому векторы одного направления можно выразить друг через друга умножением на подходящее число, если их длины соотносятся как некоторый множитель.
Свойства умножения показывают, как менять порядок вычислений. Равенство k(ma) = (km)a означает, что сначала можно умножить вектор на m, а затем на k, либо сразу умножить на произведение чисел: длина и направление результата будут одинаковыми. Правила (k + m)a = ka + ma и k(a + b) = ka + kb объясняют распределение: в первом случае складываются два результата для одного вектора, во втором число умножается на каждый вектор суммы.
| Свойство | Запись | Что означает |
|---|---|---|
| Направление при положительном множителе | k > 0 | ka направлен так же, как a |
| Направление при отрицательном множителе | k < 0 | ka направлен противоположно a |
| Модуль произведения | |ka| = |k|·|a| | Длина равна длине a, умноженной на модуль k |
| Умножение на ноль и единицу | 0a = 0; 1a = a | Ноль даёт нулевой вектор, единица не меняет вектор |
| Умножение на произведение чисел | k(ma) = (km)a | Два множителя можно заменить их произведением |
| Распределительность относительно сложения чисел | (k + m)a = ka + ma | Сумму множителей можно раскрыть в сумму векторов |
| Распределительность относительно сложения векторов | k(a + b) = ka + kb | Множитель относится к каждому слагаемому-вектору |
В таблице сначала найди нужное действие, а затем проверь его запись и смысл. При построении используй знак множителя для направления, а модуль — для длины. При преобразовании выражений особенно полезны два правила распределительности.
Задача 1. Построить вектор 2a, если задан вектор a. Здесь множитель положительный, поэтому искать новое направление не нужно. Меняется только длина: она должна стать в два раза больше.
Ответ: вектор 2a направлен так же, как a, и имеет длину 2|a|.
Задача 2. Построить −½a и 3a, сравнить направления и длины. Сначала отдельно разбери знак и модуль каждого множителя: это не позволит перепутать разворот с изменением длины.
Ответ: направления векторов противоположны, а длины равны ½|a| и 3|a| соответственно.
Задача 3. Упростить выражение 2(a + b) − 3a + b. Чтобы привести подобные слагаемые, сначала раскрой скобки по правилу распределительности, а затем собери отдельно слагаемые с a и с b.
Ответ: −a + 3b. Проверка: каждый вектор из скобок получил множитель 2, а после раскрытия скобок слагаемые с одинаковыми векторами были объединены.
Ошибка: считать, что отрицательный множитель делает длину отрицательной. Так происходит, если знак числа переносят на модуль вектора, хотя модуль — это длина и она неотрицательна. Проверка простая: вычисли |ka| как |k|·|a|; например, |−2a| = 2|a|.
Ошибка: при отрицательном множителе оставить прежнее направление. Часто замечают только изменение длины и забывают, что знак отвечает за разворот. Проверь знак до построения: если k < 0, вектор должен смотреть в противоположную сторону.
Ошибка: считать, что 0a сохраняет направление a, потому что результат будто бы «лежит на той же прямой». Нулевой вектор имеет длину ноль, но его направление не задаётся. Для проверки найди модуль результата: |0a| = 0, значит, это именно нулевой вектор.
Ошибка: при раскрытии скобок умножить число только на первое слагаемое. Это случается, когда скобки воспринимают как умножение лишь ближайшего вектора. Проверь запись по правилу k(a + b) = ka + kb: каждый вектор внутри скобок должен получить множитель.
Для работы с умножением вектора на число нужно знать обозначение вектора, его модуль, а также смысл равных и противоположных векторов. При построении и преобразовании выражений пригодится сложение векторов: вместе эти действия позволяют составлять новые векторы из известных. Умножение особенно связано с коллинеарными векторами, потому что ненулевое произведение ka направлено вдоль a или противоположно ему. Позже запись одного вектора через другой поможет решать задачи о направлениях и длинах.
Как построить произведение вектора на положительное число?
Сохрани направление исходного вектора и отложи вдоль него новый вектор. Его длина должна быть равна длине исходного вектора, умноженной на число. Например, для 2a длина результата вдвое больше.
Что меняется у вектора при умножении на отрицательное число?
Направление становится противоположным направлению исходного вектора. Длина при этом равна произведению длины исходного вектора на модуль множителя. Например, у −½a длина вдвое меньше, а направление противоположное.
Как найти модуль произведения вектора на число?
Умножь модуль исходного вектора на модуль числа: |ka| = |k|·|a|. Модуль числа берётся потому, что длина вектора не бывает отрицательной.
Чему равно произведение нулевого вектора на число?
Оно равно нулевому вектору: k·0 = 0. У нулевого вектора нет длины и направления, поэтому результат не направлен вдоль исходного вектора.
Как раскрывать скобки в выражении с суммой векторов?
Умножь число на каждый вектор в скобках: k(a + b) = ka + kb. Затем сгруппируй слагаемые с одинаковыми векторами и сложи их коэффициенты. Например, 2(a + b) = 2a + 2b.
13.8. Операция умножения вектора на число и её свойства
