"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Разность векторов — это результат вычитания одного вектора из другого. Она нужна, чтобы находить вектор, который вместе с вычитаемым даёт исходный: если c = a − b, то c + b = a. Вычитать векторы можно, заменив вычитание сложением с противоположным вектором. Для построения удобно отложить −b от конца a, а при общем начале векторов направить результат от конца b к концу a.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор, противоположный данному вектору, — это вектор той же длины, но направленный в противоположную сторону. Если дан вектор b, противоположный ему обозначают −b. Такой вектор нужен, чтобы заменить вычитание сложением: вместо того чтобы вычитать b, мы прибавляем −b.
Разностью векторов a и b называют вектор, который получается при вычитании b из a. В записи a − b первый вектор a называют уменьшаемым, а второй, b, — вычитаемым. Разность помогает найти вектор, который нужно прибавить к b, чтобы получить a.
Вычитание векторов определяют через сложение: a − b = a + (−b), где −b — вектор, противоположный b. Значит, для вычитания нужно изменить направление вычитаемого вектора и сложить его с первым. Это определение позволяет строить разность с помощью уже известного правила сложения векторов.
Вычитание сводится к сложению с противоположным вектором, потому что изменение направления b меняет его действие на обратное. Вектор −b сохраняет длину b, но направлен в другую сторону. Поэтому к a можно прибавить −b и получить тот же результат, что при вычитании b: a − b = a + (−b).
Для построения разности по правилу треугольника сначала начерти вектор a, а затем построй вектор −b. Приложи начало −b к концу a, сохранив его длину и направление. Вектор от начала a до конца −b и будет a − b, потому что именно так строят сумму двух последовательно отложенных векторов.
Если векторы a и b имеют общее начало, можно построить разность, не перенося их: соедини их концы. Направь полученный отрезок от конца b к концу a. Такое направление следует из равенства a − b = a + (−b): оно показывает, как пройти от конца b к концу a, чтобы получить результат вычитания.
Если вычитаются равные векторы, результатом будет нулевой вектор: a − a = a + (−a) = 0. Векторы a и −a одинаковы по длине, но направлены в разные стороны, поэтому при сложении они взаимно компенсируются. Если вычитаемый вектор нулевой, ничего не меняется: a − 0 = a, так как нулевой вектор не добавляет ни длины, ни направления.
Построение можно проверить сложением. Если обозначить разность через c, то c = a − b; прибавим к обеим частям b и получим c + b = a. При проверке сложи построенный результат с вычитаемым вектором по правилу треугольника. Если получился вектор a, разность построена верно.
Выбери строку таблицы по тому, как заданы векторы. Затем проверь, что в построении учтено направление вычитаемого вектора. Последний столбец подсказывает, как определить или проверить результат.
| Ситуация | Построение | Как определить результат |
|---|---|---|
| Векторы заданы произвольно | Заменить вычитание сложением с противоположным вектором: построить −b и прибавить его к a. | По правилу треугольника результат идёт от начала a к концу отложенного −b. |
| Векторы последовательно отложены по правилу треугольника | Построить a, а от его конца отложить −b. | Вектор от начала a к концу −b равен a − b. |
| Векторы имеют общее начало | Соединить концы векторов. | Направить результат от конца b к концу a. |
| Вычитаемый вектор нулевой | Оставить вектор a без изменения. | a − 0 = a. |
| Вычитаемые векторы равны | Сложить вектор с противоположным ему вектором. | Получится нулевой вектор: a − a = 0. |
Построить вектор a − b, если заданы векторы a и b. Здесь нельзя просто соединить концы произвольно заданных векторов: сперва нужно представить вычитание как сложение. Далее используем правило треугольника и следим за направлением −b.
Построй вектор −b. Он должен быть равен b по длине и направлен противоположно ему.
Приложи начало −b к концу a. Длины и направления векторов при переносе сохраняются.
Проведи вектор от начала a к концу −b. По правилу треугольника он равен a + (−b), то есть a − b.
Ответ: построенный вектор равен a − b. Его можно проверить: если сложить его с b, получится a. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в направлении −b.
Векторы a и b имеют общее начало. Нужно построить a − b и определить его направление. Поскольку общий начальный пункт уже есть, удобно сравнить конечные точки векторов. Направление разности зависит от порядка в записи.
Обозначь концы векторов a и b. Их начала совпадают, поэтому для построения нужен только отрезок между концами.
Соедини конец b с концом a. Поставь стрелку у конца a, чтобы вектор шёл именно от конца b к концу a.
Полученный вектор и есть a − b. Если поменять порядок и направить стрелку от конца a к концу b, выйдет b − a.
Ответ: a − b направлен от конца b к концу a. Если концы векторов совпадают, разность равна нулевому вектору. Если они не совпадают, направление задаёт стрелка между ними.
Даны векторы a и c, причём c = a − b. Требуется построить b. Для поиска неизвестного вектора используем проверочное равенство: к разности нужно прибавить вычитаемый вектор, чтобы получить уменьшаемый. Поэтому c + b = a, а значит, b = a − c.
Перепиши условие как c + b = a. Это равенство показывает, что b нужно найти вычитанием c из a.
Построй вектор, противоположный c, и отложи его от конца a. Это действие соответствует сумме a + (−c).
Вектор от начала a к концу отложенного −c равен a − c. По равенству выше он и есть b.
Ответ: b = a − c. Проверка: сложи найденный b с c, и по построению должно получиться a. Так подтверждается, что искомый вектор восстановлен правильно.
Нельзя вычитать векторы только по их длинам, потому что вектор задаётся ещё и направлением. Такую ошибку допускают, когда воспринимают векторы как обычные числа. Проверяй построение геометрически: используй направления и правило сложения, а не только разность длин.
При вычитании нельзя заменить b вектором той же длины и того же направления: это снова будет b, а не −b. Ошибка возникает, если забыть, что вычитаемое нужно развернуть в противоположную сторону. Перед сложением сравни направления b и −b: они должны быть противоположными.
При общем начале векторов разность a − b направлена от конца b к концу a, а не наоборот. Направление легко перепутать, если ориентироваться только на расположение концов. Проверь запись: первый вектор в разности задаёт конец, к которому направлена стрелка.
Векторы a − b и b − a не совпадают: перестановка меняет направление результата. Их считают одинаковыми, если замечают только общий отрезок между концами. Чтобы проверить себя, отметь начало и конец каждого вектора; при перестановке они меняются местами.
Для вычитания векторов нужно знать, что такое вектор, его длина и направление, а также как устроены противоположные векторы. Без этих понятий нельзя правильно построить −b и применить правило сложения. Поэтому перед вычитанием полезно уметь откладывать векторы и складывать их по правилу треугольника.
Разность помогает решать задачи на сложение и вычитание векторов и выражать один вектор через другие. Например, если c = a − b, то b можно найти как a − c. Такие преобразования позволяют восстановить неизвестный вектор и проверить результат сложением.
Как построить разность двух векторов?
Построй вектор, противоположный вычитаемому, то есть −b. Затем отложи его от конца вектора a: полученный вектор по правилу треугольника равен a − b.
Почему вычитание вектора заменяют сложением с противоположным?
Противоположный вектор имеет ту же длину, что и исходный, но направлен в обратную сторону. Поэтому сложение с −b даёт тот же результат, что и вычитание b: a − b = a + (−b).
Как направлена разность векторов с общим началом?
Она направлена от конца вычитаемого вектора b к концу вектора a. Если концы совпадают, разность равна нулевому вектору.
Чему равна разность двух одинаковых векторов?
Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору: a − a = 0. Это следует из того, что вектор и противоположный ему вектор при сложении дают нулевой вектор.
Чем отличаются векторы a − b и b − a?
При перестановке векторов меняется направление разности: a − b и b − a противоположны друг другу. Их длины равны, если оба вектора рассматриваются в одной и той же ситуации.
13.7. Разность векторов
