13.6. Правило параллелепипеда для сложения векторов

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, который задаётся длиной и направлением. Его обозначают, например, так: a или AB, где первая буква указывает начало, а вторая — конец. Для сложения трёх векторов удобно расположить их так, чтобы все они выходили из одной точки.

Сумма векторов — вектор, который получается при последовательном сложении нескольких векторов. Сумму трёх векторов a, b и c записывают a + b + c. Такая запись нужна, чтобы показать общий результат действия всех трёх векторов.

Параллелепипед — объёмная фигура, у которой противоположные грани параллельны и являются параллелограммами. Чтобы построить его на трёх векторах с общим началом, принимают эти векторы за три ребра, выходящие из одной вершины. Остальные рёбра достраивают параллельно им.

Правило параллелепипеда утверждает: сумма трёх векторов с общим началом изображается диагональю параллелепипеда, выходящей из их общего начала. Конец этой диагонали находится в противоположной вершине. Правило помогает заменить сложение трёх векторов одним наглядным построением.

Как это устроено

Для начала рассмотрим два вектора с общей точкой начала. Через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору, и получают параллелограмм. Диагональ из общей точки изображает сумму этих векторов по правилу параллелограмма. Так построение учитывает сразу оба направления и обе длины.

Теперь добавим третий вектор, также выходящий из общего начала. Он задаёт направление третьего ребра параллелепипеда, а его конец становится одной из вершин фигуры. Длина вектора определяет длину этого ребра. Благодаря общему началу все три вектора можно использовать как рёбра одной вершины.

Чтобы достроить фигуру, через конец каждого ребра проводят параллели двум другим рёбрам. Так появляются боковые грани, а противоположные им грани тоже являются параллелограммами. Это не случайное свойство: противоположные рёбра параллелепипеда параллельны и равны, поэтому перенос одного ребра на другую грань сохраняет и направление, и длину соответствующего вектора.

Сложить векторы можно и по шагам. Сначала по правилу параллелограмма складывают два из них, затем полученный вектор прибавляют к третьему. При достраивании второго параллелограмма его диагональ совпадает с пространственной диагональю параллелепипеда из общего начала. Поэтому итоговая диагональ показывает сумму всех трёх векторов.

Порядок сложения не меняет результат: сначала можно выбрать любую пару. Параллелограмм, построенный на этой паре, показывает их сумму, а добавление оставшегося вектора приводит к той же противоположной вершине параллелепипеда. Значит, вектор-сумма остаётся одной и той же пространственной диагональю.

Сложение векторов по правилу параллелепипеда

Таблица помогает выбрать построение по числу складываемых векторов. В третьей строке показано, как применить правило параллелограмма два раза, если векторы складывают последовательно.

Разбор задач

Задача 1. Изобразите сумму двух заданных векторов с общим началом, используя геометрическое построение. Нужно получить вектор, учитывающий оба направления, а не просто соединить концы исходных отрезков.

1. Обозначим общее начало точкой O, а концы векторов — точками A и B.
2. Через A проведём прямую, параллельную вектору OB, а через B — прямую, параллельную вектору OA. Так получим параллелограмм.
3. Проведём диагональ от O к противоположной вершине параллелограмма. По правилу параллелограмма эта диагональ изображает сумму.

Ответ: искомая сумма — диагональ параллелограмма, выходящая из точки O. Параллельные стороны нужны, чтобы перенести каждый вектор к концу другого, не меняя его направления и длины.

Задача 2. На трёх векторах с общим началом постройте параллелепипед и укажите вектор, равный их сумме. Пусть все три вектора выходят из точки O. Искомый вектор должен начинаться именно в O.

1. Примем три вектора за рёбра, выходящие из вершины O.
2. Через концы рёбер проведём параллельные им прямые и достроим противоположные грани параллелепипеда.
3. Обозначим противоположную вершину точкой M и проведём вектор OM. Это пространственная диагональ из общего начала векторов.

Ответ: сумма трёх векторов равна вектору OM. Не выбирайте диагональ одной из граней: она соединяет только вершины этой грани и не учитывает все три исходных ребра.

Задача 3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Представьте вектор AC₁ как сумму трёх векторов вдоль рёбер, выходящих из точки A. Диагональ AC₁ идёт из вершины A в противоположную вершину C₁.

1. Из точки A выходят рёбра AB, AD и AA₁. Запишем векторы, направленные вдоль каждого из них.
2. Эти три вектора имеют общее начало и задают рёбра параллелепипеда. По правилу параллелепипеда их сумма — пространственная диагональ из точки A.
3. Эта диагональ — вектор AC₁, поэтому записываем AC₁ = AB + AD + AA₁.

Ответ: AC₁ = AB + AD + AA₁. Все слагаемые направлены вдоль рёбер, выходящих из A, а их сумма ведёт к противоположной вершине C₁.

Типичные ошибки

Складывают векторы без общего начала. Тогда нельзя сразу принять их за три ребра одной вершины. Ошибку допускают, забывая, что вектор можно перенести параллельно самому себе; перед построением совместите начала и проверьте, что длины и направления не изменились.

Проводят диагональ противоположной грани. Такая диагональ лежит на одной грани и не соединяет общее начало с противоположной вершиной всей фигуры. Чтобы проверить построение, убедитесь, что диагональ учитывает все три ребра, а не только два.

Меняют направление вектора-суммы. Если провести диагональ от противоположной вершины к общему началу, получится вектор, направленный противоположно сумме. Сверьте начало стрелки с началами трёх исходных векторов: они должны совпадать.

Считают, что правило подходит только для прямоугольного параллелепипеда. Так думают, потому что в знакомых примерах рёбра часто расположены под прямым углом. Но правило опирается на параллельность и равенство противоположных рёбер, поэтому работает и для наклонной фигуры.

Связь с другими темами

Для применения правила нужно знать, что такое вектор, какие векторы называют равными и как переносить вектор параллельно самому себе. Также пригодится правило параллелограмма: оно позволяет сложить два вектора, прежде чем прибавлять третий. Новое построение продолжает эту идею и помогает складывать несколько векторов или представлять диагональ как сумму векторов вдоль рёбер.

Что запомнить

• Для построения параллелепипеда три складываемых вектора приводят к общему началу.
• Векторы задают три ребра, выходящие из одной вершины.
• Сумма трёх векторов изображается пространственной диагональю из их общего начала.
• Длина вектора-суммы равна длине этой диагонали.
• Сначала можно сложить любые два из трёх векторов, а затем прибавить третий.
• Правило действует для параллелепипеда любой формы, не только прямоугольного.