4.4. Разность векторов

Определения и обозначения

Разность векторов a и b — это вектор a − b, который при прибавлении к вычитаемому b даёт уменьшаемый a: (a − b) + b = a. Иными словами, мы ищем такой вектор, который вместе с b составит a. Это определение помогает понять смысл вычитания, а не только запомнить способ построения.

Противоположный вектор −b равен вектору b по длине, но направлен в противоположную сторону. При сложении они компенсируют друг друга: b + (−b) = 0. Именно поэтому вычитание b можно заменить прибавлением −b.

Нулевой вектор — вектор нулевой длины; его начало и конец совпадают, поэтому у него нет определённого направления. Например, при вычитании вектора из самого себя получается a − a = 0. Нулевой вектор нужен, чтобы записывать результат такого вычитания и случаи, когда перемещение отсутствует.

Как это устроено

Вычитание векторов сводится к сложению, потому что противоположный вектор при сложении с вычитаемым его компенсирует. Поэтому a − b записывают как a + (−b). Такой переход позволяет пользоваться знакомым правилом сложения и не вводить отдельное построение для вычитания.

По правилу треугольника сначала откладывают вектор a, а затем от его конца — вектор −b. Результат соединяет начало первого вектора с концом второго. Это следует из сложения: два последовательно отложенных вектора вместе дают именно a + (−b), то есть a − b.

Если a и b отложены от одной точки, результат можно увидеть без отдельного построения −b. Чтобы перейти от конца b к концу a, нужно пройти путь, который в сумме с b даёт a. Значит, направленный от конца b к концу a вектор и есть a − b.

Разность можно построить и по правилу параллелограмма: при общем начале векторы a и b являются его сторонами, а вектор от конца b к концу a задаёт a − b. Здесь важно не перепутать диагональ параллелограмма, которая соответствует сумме, с отрезком между концами сторон, который задаёт разность. Направление от конца вычитаемого к концу уменьшаемого следует из равенства (a − b) + b = a.

Если вычитаемый и уменьшаемый векторы равны, их разность равна нулевому вектору: a − a = 0. Это можно проверить через сложение: a + (−a) = 0. При вычитании нулевого вектора результат не меняется, потому что противоположный ему вектор тоже нулевой и сложение с ним ничего не добавляет: a − 0 = a.

Смысл и построение разности векторов

Сначала определи, какая ситуация дана: общее начало, равные векторы или нулевой вычитаемый. Затем выбери соответствующую строку и проверь направление либо равенство. Для обычного построения используй запись a − b = a + (−b).

Разбор задач

Постройте вектор a − b, если векторы a и b заданы.

1. Сначала определяем, что именно означает разность: к a нужно прибавить вектор, противоположный b. Поэтому строим −b той же длины, что и b, но с обратным направлением. Это не меняет длину вычитаемого, а меняет его знак.

2. Отложим a, а затем от его конца — −b. Такое расположение нужно, чтобы применить правило треугольника к сумме a + (−b). Следовательно, путь из двух векторов даёт искомое вычитание.

3. Соединим начало a с концом −b направленной стрелкой. Направление стрелки задаёт результат сложения по правилу треугольника. Полученный вектор и есть a − b.

Ответ: вектор из начала a к концу отложенного от него вектора −b.

Из одной точки O отложены векторы OA = a и OB = b. Выразите вектор AB через a и b.

1. Оба вектора начинаются в O, поэтому можно использовать правило для векторов с общим началом. Вектор AB направлен от конца OB к концу OA. Значит, направление соответствует разности a − b, а не b − a.

2. Проверим результат правилом сложения: путь из O в A, а затем из A в B равен вектору OB. Запишем это как OA + AB = OB. Подставим OA = a и OB = b, получим a + AB = b.

3. Чтобы выразить AB, вычтем a из обеих частей равенства. Тогда AB = b − a? Проверка показывает, что для направленного вектора от A к B это действительно b − a. Вектор от B к A, напротив, равен a − b.

Ответ: AB = b − a. (Вектор BA равен a − b.)

В параллелограмме ABCD выразите вектор AC через векторы AB и AD, а вектор BD — через те же векторы.

1. Диагональ AC можно пройти по ломаной A–B–C. По правилу сложения векторов AC = AB + BC. В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому BC = AD.

2. Подставим равенство BC = AD в запись диагонали. Получаем AC = AB + AD. Здесь используется правило сложения, потому что стороны AB и BC последовательно соединены в ломаную.

3. Чтобы получить BD, пройдём по ломаной B–A–D: BD = BA + AD. Вектор BA противоположен AB, значит BA = −AB, и поэтому BD = AD − AB. Такое выражение также согласуется с правилом общего начала: от конца AB к концу AD.

Ответ: AC = AB + AD; BD = AD − AB.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a − b = b − a. Так думают, если воспринимают вычитание как перестановку двух векторов, но при перестановке меняется направление результата. Проверь, куда направлена стрелка при общем начале: a − b идёт от конца b к концу a.

Ошибка: при построении a − b откладывать b вместо −b. Это происходит, когда забывают, что вычитание заменяется сложением противоположного вектора. Перед построением сравни направления b и второго вектора: у −b направление должно быть обратным.

Ошибка: при общем начале направлять результат от конца a к концу b. Такой вектор равен b − a, потому что порядок концов перевёрнут. Чтобы проверить себя, начни стрелку у конца вычитаемого b, а закончи у конца уменьшаемого a.

Ошибка: считать, что разность равных векторов имеет ненулевую длину. Такое случается, если не замечают, что при вычитании прибавляется вектор, противоположный вычитаемому. Проверь равенство a − a = a + (−a) = 0: результатом должен быть нулевой вектор.

Связь с другими темами

Для работы с разностью нужны равные, противоположные и нулевой векторы, а также правило сложения векторов: без этих понятий построение не объяснить. Вычитание помогает выражать вектор между двумя точками через векторы, отложенные от общего начала. В координатном способе действует тот же смысл: координаты разности получают вычитанием соответствующих координат, например (x₁; y₁) − (x₂; y₂) = (x₁ − x₂; y₁ − y₂).

Что запомнить

• a − b = a + (−b).
• Противоположные векторы равны по длине и противоположны по направлению.
• Если a и b имеют общее начало, то a − b направлен от конца b к концу a.
• a − a — нулевой вектор.
• a − 0 = a.
• Вычитание векторов не является переместительным: обычно a − b ≠ b − a.