4.5. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Умножение вектора на число — операция, при которой числу и вектору ставят в соответствие новый вектор. Если исходный вектор обозначен а, а число — k, результат записывают kа. Такая запись позволяет описывать изменение вектора без повторного построения его координат или направления.

Вектор kа называют произведением вектора а на число k. Его длина равна |k|·|а|, где вертикальные черты обозначают модуль числа или длину вектора. Например, при k = 3 новый вектор в три раза длиннее а, а при k = ½ — вдвое короче.

Направление вектора kа зависит от знака множителя: при k > 0 оно совпадает с направлением а, а при k < 0 противоположно ему. Знак помогает понять, в какую сторону строить вектор, тогда как модуль множителя определяет только его длину. Поэтому отрицательное число не означает отрицательную длину.

Если k = 0, произведение kа является нулевым вектором независимо от того, каким был вектор а. У нулевого вектора длина равна нулю, поэтому направление для него не задают. Это правило действует и для ненулевого исходного вектора.

Как это устроено

Чтобы построить kа, сначала находят длину |k|·|а|, а затем проводят прямую, параллельную а. На этой прямой откладывают вектор нужной длины: при положительном k — в сторону а, при отрицательном — в противоположную. Такой порядок удобен, потому что отдельно учитывает размер результата и его направление.

Длина зависит от модуля числа, потому что длина — неотрицательная величина. Умножение на число с модулем больше единицы растягивает вектор, а с модулем между нулём и единицей уменьшает его. Отрицательный знак не влияет на размер растяжения: он только разворачивает вектор в обратную сторону.

Если а не нулевой, вектор kа параллелен а: при построении он лежит на прямой, параллельной исходному вектору. При ненулевом k длина произведения положительна, поэтому результат тоже не нулевой. Нулевым он становится, когда нулевой исходный вектор или множитель равен нулю.

Умножение распределяется относительно сложения векторов: k(а + b) = kа + kb. Сначала можно сложить а и b и умножить результат на k, а можно умножить каждый вектор отдельно и сложить результаты — получится один и тот же вектор. Есть похожее правило для суммы чисел: (k + m)а = kа + mа, потому что обе части означают одно и то же суммарное изменение вектора а.

Два последовательных умножения объединяются в одно: m(kа) = (mk)а. Сначала вектор изменяется в k раз, затем в m раз, поэтому общий множитель равен произведению чисел. Частный случай — умножение на 1: 1а = а, так как длина и направление не меняются.

Направление и длина вектора kа в зависимости от числа k

Сначала найди в таблице условие, которому соответствует множитель, а затем отдельно определи длину и направление. Для положительного k в формуле длины можно записать k·|а|, а для любого знака подходит единая запись |k|·|а|. При k = 0 строить вектор вдоль выбранного направления не нужно: результатом будет нулевой вектор.

Разбор задач

Постройте вектор 2а, если дан ненулевой вектор а.

Множитель 2 положительный, значит направление нового вектора будет таким же, как у а. Модуль множителя равен 2, поэтому длина произведения вдвое больше длины исходного вектора. Осталось отложить полученный вектор на прямой, параллельной а.

1. Проведите через начало вектора а прямую, параллельную ему.
2. На этой прямой отложите от того же начала вектор в направлении а.
3. Выберите конец так, чтобы длина отложенного вектора была равна 2·|а|.

Искомый вектор сонаправлен с а и в два раза длиннее него. Проверка: если бы множитель был ½, длина стала бы вдвое меньше, а знак по-прежнему не изменил бы направление.

Постройте вектор −3/2 а и укажите его длину и направление.

Здесь множитель отрицательный, поэтому произведение направлено противоположно а. Его модуль равен 3/2, следовательно, длина результата составляет полторы длины а. При построении важно не откладывать отрицательную длину, а использовать модуль для размера и знак для направления.

1. Проведите прямую, параллельную а.
2. Отложите на ней вектор в направлении, противоположном а.
3. Сделайте его длину равной 3/2·|а|.

Полученный вектор — −3/2 а; его длина равна 3/2·|а|, а направление противоположно а. Если построенный вектор оказался сонаправлен с исходным, значит, при построении не учли знак минус.

Даны точки A, B, C. Выразите вектор 2AB − AC через векторы с началом в A и постройте его.

Оба исходных вектора AB и AC начинаются в точке A, поэтому выражение удобно строить как сумму двух векторов с общим началом. Вычитание AC заменим умножением этого вектора на −1: −AC = (−1)AC. Затем применим правила умножения на число и сложения векторов.

1. Постройте вектор 2AB: от точки A отложите в направлении AB вектор вдвое длиннее AB.
2. Постройте вектор −AC: от точки A отложите вектор длины AC, направленный противоположно AC.
3. Сложите 2AB и −AC по правилу треугольника: перенесите начало второго вектора к концу первого и проведите вектор от A к общему концу.

Итак, 2AB − AC = 2AB + (−AC), и построенный вектор выражен через векторы с началом в A. Длина результата зависит от взаимного расположения AB и AC, поэтому без дополнительных данных её численно определить нельзя. Проверяйте построение по двум отдельным действиям: удвоению AB и обращению направления AC.

Типичные ошибки

Ошибка: умножать длину на k даже при k < 0 и получать отрицательное число. Её допускают, потому что переносят знак множителя на длину, хотя отрицательный знак относится к направлению. Проверка: длина любого вектора должна быть неотрицательной, поэтому используйте |k|·|а|.

Ошибка: при отрицательном множителе оставлять направление а. Часто знак минус замечают в вычислениях, но забывают учесть на чертеже. Проверьте, куда направлен результат: при k < 0 он должен смотреть в противоположную сторону.

Ошибка: считать, что произведение ненулевого вектора на ненулевое число может оказаться нулевым. Это неверно, поскольку длина такого результата равна произведению двух положительных величин. Чтобы проверить себя, найдите |k|·|а|: ноль возможен только при k = 0 или |а| = 0.

Ошибка: раскрывать скобки как k(а + b) = kа + b. Такое происходит, когда множитель применяют только к первому слагаемому. По распределительному свойству он действует на каждое слагаемое: k(а + b) = kа + kb; подставьте простые ненулевые векторы и проверьте, что равенство сохраняется.

Связь с другими темами

Для работы с умножением векторов нужны навыки сложения и вычитания векторов, понимание длины вектора и знание коллинеарных векторов. Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. Умножение на число позволяет получать векторы, параллельные исходному, а сложение — объединять такие результаты.

Это действие пригодится при разложении векторов по другим векторам и при доказательстве геометрических утверждений. В задачах на координаты вектора умножение на число означает умножение каждой координаты на этот множитель. Поэтому геометрические правила согласуются с вычислениями: знак меняет направление, а модуль множителя — масштаб.

Что запомнить

• Длина kа равна |k|·|а|.
• При k > 0 вектор kа направлен так же, как а.
• При k < 0 вектор kа направлен противоположно а.
• При k = 0 произведение kа — нулевой вектор.
• k(а + b) = kа + kb.
• (k + m)а = kа + mа.
• m(kа) = (mk)а.