35.4. Радиус-вектор

Определения и обозначения

Радиус-вектор точки — вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с данной точкой. Для точки M его обозначают OM⃗. Такое обозначение показывает, откуда и куда направлен вектор; оно помогает связать точку с выбранной системой координат.

Координаты радиус-вектора — координаты его конца, если начало координат выбрано за начало отсчёта. Если M(x; y; z), то OM⃗ = (x; y; z). Эта запись нужна, чтобы описывать положение точки числами и выполнять вычисления без обращения к чертежу.

Координатная запись радиус-вектора — упорядоченная тройка координат, соответствующая координатам точки. Порядок чисел фиксирован: сначала координата по оси x, затем по y, затем по z. Такая запись позволяет однозначно восстановить конец вектора и не перепутать направления.

Как это устроено

Радиус-вектор связывает точку с системой координат потому, что его начало закреплено в точке O — общем начале осей. Если конец вектора переместить, изменится и точка, которую он задаёт. Поэтому при одном и том же начале координат каждой точке соответствует единственный радиус-вектор, а конец вектора однозначно указывает на эту точку.

Чтобы получить радиус-вектор по координатам точки M(x; y; z), нужно записать те же числа в том же порядке: OM⃗ = (x; y; z). Причина совпадения в том, что координаты вектора показывают смещение от его начала до конца по каждой оси. Начало находится в O, где все координаты равны нулю, поэтому смещение до M равно координатам M.

По координатам радиус-вектора можно построить точку в пространстве. От начала координат отложите x по оси x, y по оси y и z по оси z; отрицательное значение означает движение в противоположную сторону. Затем определите положение конца вектора с этими тремя координатами. На плоском рисунке пространственную точку обычно изображают схематично, но значения координат остаются точными.

При переходе к другой точке меняется конец вектора, а значит, меняются и его координаты. Например, точки с разными координатами не могут иметь одинаковые радиус-векторы: один и тот же вектор из O имеет только один конец. Поэтому обозначение OM⃗ важно читать целиком: буква M указывает именно ту точку, положение которой задаёт вектор.

Координаты радиус-вектора удобно использовать и для вычислений с другими векторами. Если известны положения точек A и B, то вектор AB⃗ получают как разность радиус-векторов: OB⃗ − OA⃗. Такое правило позволяет перейти от геометрического направления «из A в B» к вычитанию соответствующих координат и решать задачи в числах.

Связь точки и её радиус-вектора

Сначала определите, какой объект дан: сама точка или вектор от начала координат к ней. Затем сопоставьте координаты по осям в неизменном порядке x, y, z. Таблица помогает быстро перейти от записи точки к записи её радиус-вектора и обратно.

Разбор задач

Задача 1. Точка M имеет координаты (2; −1; 3). Запишите радиус-вектор точки M.

1. Радиус-вектор должен начинаться в начале координат O и заканчиваться в M.
2. Координаты его конца совпадают с координатами точки, поэтому переносим числа 2, −1 и 3 в запись вектора в том же порядке.
3. Проверяем, что первая координата относится к оси x, вторая — к y, третья — к z.

Ответ: OM⃗ = (2; −1; 3).

Задача 2. Дан радиус-вектор OM⃗ = (−3; 4; 1). Найдите координаты точки M и изобразите её схематично.

1. Конец радиус-вектора — это точка M, а координаты вектора совпадают с координатами этого конца.
2. Значит, координаты точки записываем без изменений: первая равна −3, вторая 4, третья 1.
3. Для схематичного построения от O откладываем −3 по x, 4 по y и 1 по z. Точка находится в направлении, заданном этими тремя смещениями; на рисунке оси и глубина могут быть изображены условно.

Ответ: M(−3; 4; 1). Схема должна показывать конец вектора OM⃗ в соответствующем положении.

Задача 3. OA⃗ = (1; 2; −1), OB⃗ = (4; −1; 3). Найдите координаты AB⃗ и объясните связь с радиус-векторами.

1. Вектор AB⃗ направлен из A в B, поэтому берём координаты конечной точки B минус координаты начальной точки A: AB⃗ = OB⃗ − OA⃗.
2. Вычитаем соответствующие координаты: (4 − 1; −1 − 2; 3 − (−1)).
3. Вычисляем: (3; −3; 4). Разность показывает смещение от A к B по каждой оси.

Ответ: AB⃗ = (3; −3; 4).

Типичные ошибки

Путать точку M и её радиус-вектор OM⃗ — значит смешивать положение объекта с направленным отрезком. Это происходит потому, что их координатные записи совпадают. Проверка: спросите себя, обозначаете ли вы положение точки или вектор, начинающийся в O; при необходимости подпишите объект явно.

Запись координат в неправильном порядке меняет точку, которую задаёт вектор. Ошибку допускают, когда не связывают каждое число с конкретной осью. Проверяйте запись по порядку: x, затем y, затем z; полезно сверить каждую координату с соответствующим направлением на чертеже.

Неверно считать координаты радиус-вектора координатами его начала: начало всегда находится в O и имеет координаты (0; 0; 0). Такое смешение возникает из-за того, что вектор обозначен двумя буквами. Проверка проста: координаты должны задавать его конец — точку M, а не начало O.

При вычислении AB⃗ нельзя вычитать координаты A из координат B в обратном порядке. Ошибка возникает, если не учесть направление: вектор идёт из A в B. Запишите сначала правило AB⃗ = OB⃗ − OA⃗, а потом вычитайте координаты попарно; для BA⃗ результат будет противоположным.

Связь с другими темами

Для работы с радиус-вектором нужны прямоугольная система координат в пространстве, координаты точки и обозначение вектора. Эти знания позволяют понимать, как числовая тройка связана с направлением и положением. Радиус-вектор используется для нахождения координат векторов между точками и действий с векторами. Это один из основных инструментов аналитической геометрии, где геометрические задачи переводят на язык координат и вычислений.

Что запомнить

• Радиус-вектор точки начинается в начале координат.
• Конец радиус-вектора совпадает с соответствующей точкой.
• Координаты радиус-вектора равны координатам его конца.
• В пространстве радиус-вектор задаётся тремя координатами.
• По координатам радиус-вектора можно восстановить точку.
• AB⃗ = OB⃗ − OA⃗.