35.5. Векторный метод

Определения и обозначения

Векторный метод — способ решать геометрические задачи, заменяя отношения между точками и фигурами равенствами и операциями над векторами. Он нужен, когда свойства фигуры проще выразить алгебраически, чем доказывать построениями. Важно перевести условие задачи в векторную запись и объяснить, почему полученное равенство доказывает нужное утверждение.

Радиус-вектор точки — вектор, проведённый из выбранного начала координат к этой точке. Он задаёт положение точки относительно начала, поэтому вместо самой точки в вычислениях можно использовать её радиус-вектор. Если начало обозначить O, радиус-вектор точки A записывают как OA.

Векторное равенство — равенство векторов, то есть совпадение их направлений и длин. Оно позволяет получить соотношения между точками: например, AB = DC означает, что соответствующие направленные отрезки задают один и тот же вектор. Такое равенство помогает установить параллельность, середину или другие геометрические свойства.

Линейная комбинация векторов — сумма векторов, умноженных на числа, например αa + βb. С её помощью один вектор выражают через другие, в частности через выбранные базовые векторы. Это упрощает проверку того, лежит ли направление отрезка в плоскости, заданной двумя направлениями.

Как это устроено

Чтобы описать фигуру векторами, сначала выбирают начало отсчёта O и проводят радиус-векторы к её точкам. Тогда любая точка представлена вектором, а переход от одной точки к другой можно записать через разность радиус-векторов: если OA = a и OB = b, то AB = b − a. Такой переход полезен потому, что положения точек превращаются в выражения, которые можно складывать и сравнивать. Геометрическую задачу удаётся свести к вычислениям, сохранив смысл исходных условий.

Геометрические отношения переводят на язык векторов по их определению. Параллельные отрезки имеют коллинеарные направляющие векторы, поэтому один такой вектор выражается как число, умноженное на другой. Если точка P делит AB в отношении AP:PB = m:n, то её радиус-вектор равен p = (n·a + m·b)/(m+n): коэффициенты учитывают, что P находится на расстоянии m частей от A и n частей от B. Это даёт единый способ записывать деление отрезка даже при неудобном выборе начала.

Для середины M отрезка AB расстояния до A и B одинаковы, поэтому её положение — среднее между положениями концов. Если радиус-векторы концов равны a и b, то m = (a + b)/2. Деление суммы на два обязательно: без него получится удвоенное положение середины относительно начала. Удобно также выбрать одну из вершин началом отсчёта; её радиус-вектор тогда нулевой, и формула часто становится короче.

Выбор начала и базовых векторов влияет на сложность вычислений, хотя не меняет саму фигуру. Начало можно совместить с вершиной, а базовыми взять векторы рёбер, если через них удобно выразить остальные точки. Тогда в формулах исчезают лишние слагаемые, а отношения становятся заметнее. Перед расчётами стоит проверить, какие точки и отрезки участвуют в заключении, и выбрать представление, где они имеют наиболее простые выражения.

После записи условий нужно связать полученные векторы с требуемым геометрическим выводом. Пропорциональность направляющих векторов доказывает параллельность, а равенство двух выражений для точки может показать, что прямые пересекаются. Если радиус-вектор точки выражен как радиус-вектор точки на прямой плюс число, умноженное на направляющий вектор, то эта точка принадлежит прямой. Завершая доказательство, поясняют, какое именно векторное равенство отвечает нужному свойству.

Геометрические условия и их векторная запись

В таблице a, b, c, d и x обозначают радиус-векторы соответствующих точек, а k и t — числа. Сначала запиши известные условия в подходящей строке, затем сравни полученные выражения. Принадлежность точки прямой проверяют, найдя число t, при котором её радиус-вектор имеет нужный вид.

Разбор задач

Середина стороны треугольника

В треугольнике ABC точка M — середина AC. Нужно выразить BM через BA и BC. Выбор B началом отсчёта удобен: радиус-векторы A и C тогда сразу совпадают с нужными векторами BA и BC. Так промежуточные выражения не содержат радиус-вектора B.

1. Положим B началом отсчёта. Обозначим BA = a и BC = c.
2. По формуле середины BM = (BA + BC)/2, поскольку радиус-векторы A и C относительно B равны BA и BC.
3. Итак, BM = ½(BA + BC). Полученное выражение — полусумма векторов, направленных из B к концам отрезка AC.

Ответ: BM = ½(BA + BC).

Проверка параллельности в тетраэдре

В тетраэдре ABCD точки M и N — середины AB и CD. Требуется доказать, что MN параллелен плоскости через середины AC, AD и BC. Однако при такой формулировке утверждение в общем случае неверно. Это важно проверить до доказательства: векторный расчёт позволяет заметить, что вектор MN не выражается через направления указанной плоскости.

1. Положим A началом отсчёта и обозначим AB = b, AC = c, AD = d. Тогда BM? Для середины AB получаем AM = b/2, а для середины CD — AN = (c + d)/2.
2. Отсюда MN = AN − AM = (c + d − b)/2.
3. Обозначим середины AC, AD и BC через X, Y и Z. Направления плоскости задают XY = (d − c)/2 и XZ = b/2, поэтому её направляющие векторы выражаются через d − c и b.
4. В общем случае c + d − b нельзя выразить как линейную комбинацию d − c и b. Следовательно, MN не обязателен параллелен этой плоскости; для доказательства нужно уточнить условие задачи.

Ответ: утверждение в указанной формулировке неверно для произвольного тетраэдра.

Точка делит ребро в заданном отношении

В тетраэдре ABCD точка P делит AB так, что AP:PB = 2:1, а Q делит CD так, что CQ:QD = 2:1. Требуется выяснить, когда PQ пересекает прямую пересечения плоскостей ACD и BCD. Эти плоскости имеют общую прямую CD, а точка Q уже лежит на CD. Поэтому можно проверить, не создаёт ли условие задачи дополнительного ограничения.

1. Пусть радиус-векторы вершин равны a, b, c, d. По формуле деления отрезка p = (a + 2b)/3, а q = (c + 2d)/3.
2. Любая точка прямой PQ задаётся радиус-вектором x = p + t(q − p), где t — число. При t = 1 получаем x = q.
3. Точка Q принадлежит CD по условию, значит, при t = 1 прямая PQ встречает прямую CD в точке Q. Это верно при любом расположении вершин невырожденного тетраэдра.

Ответ: дополнительного условия нет: PQ пересекает CD в точке Q.

Типичные ошибки

Смешивать вектор и его длину. Равенство длин не означает равенства векторов, потому что направления могут различаться. Такую ошибку допускают, сосредоточившись только на расстояниях между точками. Проверяй и длину, и направление; при необходимости сравнивай сами координаты или выражения векторов.

Менять порядок вычитания при записи вектора отрезка. Если радиус-векторы A и B равны a и b, то AB = b − a, а не a − b. Путаница появляется из-за того, что обе разности связывают те же точки, но задают противоположные направления. Проверь себя правилом: сначала конечная точка, затем начальная.

Забывать деление на два в формуле середины. Радиус-вектор середины — полусумма радиус-векторов концов, а не просто их сумма. Ошибка возникает при переносе свойства «сложить два вектора» без учёта того, что середина находится на половине пути. Подставь случай, когда один конец совпадает с началом отсчёта: радиус-вектор середины должен быть вдвое короче радиус-вектора второго конца.

Выбирать слишком сложное начало отсчёта и базовые векторы. Тогда в формулах появляются лишние слагаемые, и связь между нужными отрезками становится незаметной. Обычно это происходит, когда выбор делают случайно, а не по условиям задачи. Попробуй начать отсчёт в вершине, часто встречающейся в задаче, и проверить, уменьшилось ли число ненулевых радиус-векторов.

Связь с другими темами

Для векторного метода нужны сложение векторов, умножение вектора на число и свойства коллинеарных векторов. Он тесно связан с координатным методом: координаты позволяют записывать и проверять векторные равенства, в том числе в пространстве. Позже эти идеи применяются в стереометрии, когда нужно исследовать параллельность, пересечение прямых и принадлежность точек плоскости. По сути, векторная запись переводит геометрический вопрос в проверяемое алгебраическое условие.

Что запомнить

• Сначала выбери удобное начало отсчёта, затем вырази положения точек их радиус-векторами.
• Вектор от A к B равен разности радиус-векторов B и A.
• Радиус-вектор середины отрезка — полусумма радиус-векторов его концов.
• Параллельные векторы выражаются друг через друга умножением на число.
• Геометрическое утверждение нужно перевести в векторное равенство и обосновать полученное равенство.
• Удачный выбор начала отсчёта и базовых векторов упрощает вычисления.