4.1. Векторный метод

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок с указанным направлением. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например AB, или одной жирной буквой; стрелка показывает движение от начала к концу. Вектор задают длина и направление, поэтому он описывает не просто расстояние, а перемещение из одной точки в другую.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одного направления. Их начала могут находиться в разных точках: перенос вектора параллельно самому себе не меняет ни длину, ни направление. Это позволяет выбирать удобное место для изображения вектора и сравнивать перемещения, совершённые из разных точек.

Сумма векторов — вектор, который получают по правилу треугольника или параллелограмма. Если записано a + b, результат показывает общее перемещение сначала на a, затем на b. Это действие нужно, чтобы описывать последовательные перемещения одним вектором.

Произведение вектора на число — вектор, длина которого умножается на модуль этого числа. При положительном множителе направление сохраняется, при отрицательном — меняется на противоположное, а при множителе 0 получается нулевой вектор. Такое действие помогает задавать вектор, параллельный исходному, но другой длины или направления.

Как это устроено

Направленный отрезок описывает перемещение: его длина показывает, насколько далеко переместились, а стрелка — куда. Поэтому одинаковое перемещение можно представить отрезками, нарисованными в разных местах: начальные точки различаются, но длина и направление совпадают. Такие изображения задают один и тот же вектор, и его можно перенести туда, где удобнее выполнять построение. Это свойство позволяет работать с вектором независимо от его конкретного положения на чертеже.

Чтобы сложить два вектора, конец первого совмещают с началом второго, не меняя длины и направления перенесённого вектора. Сумму проводят от начала первого к концу второго: она показывает итоговое перемещение после двух последовательных шагов. Например, путь из A в B, а затем из B в C даёт прямое перемещение из A в C. Если векторы отложены из одной точки, их можно достроить до параллелограмма, и его диагональ будет суммой.

Вычитание заменяют сложением: a − b = a + (−b). Вектор −b имеет ту же длину, что и b, но направлен в обратную сторону, поэтому прибавить −b — значит выполнить перемещение, противоположное b. Так, чтобы найти разность двух векторов, можно перенести их к общему началу: вектор от конца b к концу a задаёт a − b. Такое преобразование позволяет использовать уже знакомое правило сложения.

При умножении вектора на число его длина изменяется в |k| раз, где k — множитель, а знак k определяет направление. Если k положительно, направление сохраняется; если отрицательно — вектор разворачивается. Противоположные векторы a и −a при сложении дают нулевой вектор: последовательное перемещение туда и обратно приводит в исходную точку. Это объясняет равенство a + (−a) = 0.

Геометрические условия можно записывать как векторные равенства, чтобы свести доказательство к вычислению. Например, если M — середина AB, то AM = ½AB: путь от A до M составляет половину пути от A до B. Если в ходе решения удалось получить равенство векторов, оно сообщает сразу и о длинах, и о направлениях, а значит, может подтвердить нужные свойства отрезков. Главное — обозначить точки и аккуратно выразить каждый вектор через удобные исходные векторы.

Основные действия с векторами

Сначала определите, какое действие требуется, затем выберите соответствующее геометрическое правило. При сложении мысленно переносите векторы, сохраняя их длину и направление; при вычитании сначала замените второй вектор противоположным. Проверяйте и длину, и направление результата, а не только расположение отрезков на рисунке.

Разбор задач

Задача 1. В треугольнике ABC выразить вектор AC через векторы AB и BC. Нужно описать перемещение от A к C через промежуточную точку B, поэтому подходит правило треугольника. Оно связывает два последовательных участка пути с одним итоговым вектором.

1. Представим путь из A в C как путь из A в B, а затем из B в C.
2. По правилу треугольника вектор итогового перемещения равен сумме векторов этих двух участков: AC = AB + BC.

Ответ: AC = AB + BC. Запись отражает порядок движения по сторонам треугольника и не требует складывать длины AB и BC.

Задача 2. Доказать, что диагонали параллелограмма ABCD делятся точкой пересечения пополам. Обозначим через O точку пересечения диагоналей, а векторы AB и AD — через b и d. Выразим положения вершин относительно A: так можно сравнить середины диагоналей через одни и те же векторы.

1. Положим A за начало отсчёта. Тогда B задаётся вектором b, D — вектором d, а C — вектором b + d, поскольку ABCD — параллелограмм.
2. Середина AC задаётся вектором ½(b + d). Середина BD имеет вектор ½(b + d), так как её положение равно среднему положений B и D.
3. У диагоналей одна и та же середина, значит, точка O делит AC и BD пополам.

Ответ: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Сравнение векторов середин доказывает, что обе диагонали проходят через одну точку, расположенную посередине каждой.

Задача 3. Доказать, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и вдвое меньше неё. В треугольнике ABC обозначим середины AB и AC буквами M и N. Выразим перемещение MN через векторы, выходящие из A.

1. Так как M и N — середины, AM = ½AB и AN = ½AC.
2. Чтобы перейти из M в N, можно сначала вернуться из M в A, а затем пройти из A в N. Поэтому MN = −AM + AN = ½AC − ½AB.
3. По правилу треугольника AC − AB = BC. Значит, MN = ½BC: этот вектор параллелен BC и имеет вдвое меньшую длину.

Ответ: MN ∥ BC, а MN вдвое меньше BC. Здесь равенство векторов показывает одновременно нужное направление и соотношение длин.

Типичные ошибки

Считать векторы равными только потому, что изображающие их отрезки одинаковы по длине, — ошибка: стрелки могут смотреть в разные стороны. Её допускают, когда сравнивают лишь расстояния на чертеже. Проверьте направление обоих векторов и убедитесь, что оно совпадает; равенство требует и одинаковой длины, и одинакового направления.

При сложении иногда соединяют начала векторов или складывают длины, не учитывая их направления. Так поступают, перенося на векторы привычное сложение чисел, хотя геометрическое сложение устроено иначе. Проверьте построение: у правила треугольника конец первого вектора должен совпасть с началом второго, а сумма идёт от начала первого к концу второго.

При умножении вектора на отрицательное число можно изменить его длину, но забыть развернуть направление. Это происходит, если смотреть только на модуль множителя и не замечать его знак. Для самопроверки отдельно определите длину результата по |k|, а затем решите, куда указывает он: при k < 0 — противоположно исходному вектору.

Вектор и его длина — не одно и то же: первый имеет направление, вторая является неотрицательным числом. Их смешивают, когда записывают векторное равенство, а затем сравнивают только числа или отрезки. Проверяйте обозначения: длину AB записывают без стрелки, а вектор AB — со стрелкой; равные длины сами по себе не означают равенства векторов.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны понятия направленного отрезка, длины и параллельности. Координаты точки помогают задавать положение точек числами, а вектор между точками можно выражать через их координаты. Поэтому полезно уметь различать точку, отрезок, его длину и направленный отрезок.

Векторный метод применяют в доказательствах свойств треугольников и параллелограммов: геометрические отношения превращают в равенства векторов. Он также связан с координатным методом, где те же отношения выражают через координаты точек и вычисляют числа. Умение выбирать удобное представление помогает решать задачу короче и яснее.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Вычитание заменяют сложением с противоположным вектором.
• При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа.
• Отрицательный множитель меняет направление вектора на противоположное.
• Векторные равенства позволяют переводить геометрические условия в алгебраическую форму.