§ 4. Векторная алгебра и векторный метод

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть начало и конец; его обозначают, например, AB со стрелкой или маленькой буквой a. Длина вектора — расстояние от начала до конца, а направление показывает, куда он направлен. Если начало и конец совпадают, получается нулевой вектор: его длина равна нулю, а направление не определено. Вектор описывает перемещение, поэтому он нужен там, где одного расстояния недостаточно.

Равными называют векторы, которые имеют одинаковые длину и направление, даже если их начала находятся в разных точках. Противоположный вектор имеет ту же длину, что и исходный, но направлен в обратную сторону; например, AB и BA противоположны. Это позволяет переносить вектор параллельно самому себе и складывать векторы, не привязывая их к конкретным точкам. Противоположный вектор также нужен, чтобы определить вычитание.

Координаты вектора — пара чисел, показывающая, на сколько единиц он перемещается по каждой из координатных осей. Если A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂), то координаты AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁): из координат конца вычитают координаты начала. Например, из A(1; 2) в B(4; 6) ведёт вектор (3; 4). Такая запись помогает выполнять действия с векторами с помощью обычных вычислений.

Скалярное произведение векторов a и b — число, равное произведению их длин на косинус угла φ между ними: a · b = |a||b| cos φ. В отличие от суммы векторов, результатом здесь является число. Формула связывает направление векторов с их длинами и помогает находить углы или проверять, перпендикулярны ли векторы.

Как это устроено

Чтобы сложить векторы a и b, можно поставить начало b в конец a: вектор из начала a в конец перенесённого b и будет суммой. Это правило треугольника, потому что два последовательных перемещения образуют две стороны треугольника, а сумма — третью сторону, направленную от старта к финишу. По правилу параллелограмма оба вектора откладывают от одной точки и достраивают параллелограмм. Его диагональ из общей начальной точки показывает то же итоговое перемещение: второй вектор в параллелограмме можно перенести параллельно, не изменяя его.

Разность a − b определяют как сумму a и вектора, противоположного b: a − b = a + (−b). Чтобы увидеть её геометрический смысл, расположим начала a и b в одной точке. Тогда разность направлена от конца b к концу a, поскольку именно такой вектор вместе с b даёт a. Этот способ превращает вычитание в уже знакомое сложение и позволяет строить разность геометрически.

При умножении вектора a на число k его длина умножается на модуль числа, то есть |ka| = |k||a|. Если k положительно, направление сохраняется, потому что перемещение продолжается в ту же сторону; если k отрицательно, направление становится противоположным. При k = 0 получается нулевой вектор, ведь перемещение исчезает. Так можно задавать векторы, которые направлены вдоль одного отрезка, но имеют другую длину или противоположный смысл.

Координатные формулы действий следуют из того, что координаты показывают проекции перемещения на оси. При последовательных перемещениях проекции складываются, поэтому координаты суммы равны суммам соответствующих координат; при вычитании и умножении на число проекции меняются так же, как сам вектор. Для a = (x₁; y₁) и b = (x₂; y₂) получаем a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), a − b = (x₁ − x₂; y₁ − y₂), ka = (kx₁; ky₁). Длина a = (x; y) равна √(x² + y²), поскольку координаты образуют катеты прямоугольного треугольника, а вектор — его гипотенузу.

Скалярное произведение показывает, насколько направления векторов совпадают или расходятся: значение зависит и от длин, и от угла между ними. Если векторы ненулевые и перпендикулярны, угол равен 90°, его косинус равен нулю, а значит, скалярное произведение равно нулю; верно и обратное. По координатам a · b = x₁x₂ + y₁y₂, поэтому перпендикулярность удобно проверять вычислением. Если нужно найти угол, используют cos φ = (a · b)/(|a||b|) и определяют угол по значению косинуса.

Действия с векторами и их координатные формулы

В таблице геометрическое описание показывает, что происходит с направлением и длиной, а координатная запись даёт способ быстро выполнить вычисления. Сначала выберите строку по нужному действию, затем подставьте координаты в формулу. Для длины и перпендикулярности проверьте, что используете соответствующее условие, а для последнего — что оба вектора ненулевые.

Разбор задач

Задача 1. Даны векторы a и b длиной 5 см и 3 см, угол между ними равен 60°. Построить их сумму и найти её длину. Направьте векторы из одной точки и достройте параллелограмм: диагональ из общей точки представляет сумму. Для вычисления длины используйте теорему косинусов в треугольнике, образованном сторонами 5 и 3 и диагональю.

1. Обозначим угол между сторонами параллелограмма через 60°. Диагональ суммы лежит напротив угла 180° − 60° = 120° в треугольнике со сторонами 5 и 3.
2. По теореме косинусов: |a + b|² = 5² + 3² − 2 · 5 · 3 · cos 120°.
3. Так как cos 120° = −½, получаем |a + b|² = 25 + 9 + 15 = 49, поэтому |a + b| = 7 см.

Ответ: сумму строят как диагональ параллелограмма, её длина равна 7 см. Здесь полезно не складывать длины 5 и 3 напрямую: угол между векторами влияет на длину диагонали. Проверка здравого смысла: при угле 60° длина суммы больше каждого вектора, но меньше 5 + 3.

Задача 2. Найти координаты вектора AB и его длину, если A(−2; 1), B(4; 4). Сначала определите изменение координат от начала вектора к концу. Затем подставьте полученные числа в формулу длины, основанную на теореме Пифагора. Такой порядок помогает не перепутать, от какой точки отнимать координаты.

1. Координаты AB: (4 − (−2); 4 − 1) = (6; 3). Первая координата показывает сдвиг вправо, вторая — вверх.
2. Найдём длину: |AB| = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5.
3. Проверим результат: длина больше 6 и меньше 6 + 3, что согласуется с катетами 6 и 3.

Ответ: AB = (6; 3), |AB| = 3√5. Полученное направление ведёт от A к B, так как обе координаты положительны. Если бы вычесть координаты в обратном порядке, вышел бы вектор BA, противоположный AB и той же длины.

Задача 3. Доказать, что диагонали параллелограмма ABCD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим векторы AB = a и AD = b, а точку A примем за начало отсчёта. Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, вершины можно выразить через эти два вектора. Если середины диагоналей совпадают, диагонали пересекаются именно в этой точке и делятся пополам.

1. Положения вершин задаются векторами: A — нулевой вектор, B = a, D = b, C = a + b.
2. Середина AC имеет радиус-вектор (a + b)/2. Середина BD имеет радиус-вектор (a + b)/2, потому что её координаты — средние от a и b.
3. Середины совпадают, значит, обе диагонали проходят через одну точку. Эта точка является серединой каждой диагонали, что и требовалось доказать.

Ответ: диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Векторная запись заменяет рассуждение о четырёх вершинах сравнением положения двух середин. В координатах тот же вывод получается покоординатным усреднением концов каждой диагонали.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать длины векторов вместо самих векторов: например, считать длину суммы равной |a| + |b|. Так делают, когда забывают, что векторы направлены, а итог зависит от угла между ними; равенство возможно, например, при одинаковом направлении. Проверьте себя построением: при противоположных направлениях длина суммы может оказаться разностью длин, а не их суммой.

Вторая ошибка — менять порядок вычитания координат при нахождении вектора из точки A в точку B. Координаты начала вычитают из координат конца, потому что они показывают изменение положения: AB = B − A. Чтобы проверить знак, мысленно пройдите от A к B и определите, в какую сторону и на сколько единиц изменились координаты.

Третья ошибка — считать, что отрицательный множитель только меняет длину вектора. При умножении на −k длина увеличивается в |k| раз, но направление также становится противоположным, иначе координаты не изменили бы знак. Нарисуйте исходный вектор и результат: они должны лежать на одной прямой, но смотреть в разные стороны.

Четвёртая ошибка — без проверки объявлять векторы перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Для ненулевых векторов это действительно означает угол 90°, но нулевой вектор не имеет направления, поэтому перпендикулярность с ним так не определяют. Перед выводом убедитесь, что длины обоих векторов не равны нулю.

Связь с другими темами

Для работы с координатами вектора понадобятся координатная плоскость и умение находить разность координат точек. Формула длины вектора опирается на теорему Пифагора: его проекции на оси становятся катетами прямоугольного треугольника. Правило параллелограмма связывает сложение векторов с уже знакомыми свойствами этой фигуры.

Векторный метод пригодится в доказательствах: можно выразить положения точек через векторы и сравнить полученные выражения. В задачах на координаты он помогает находить расстояния, а скалярное произведение позволяет исследовать углы. Таким образом, геометрические отношения можно описывать как построениями, так и вычислениями.

Что запомнить

• Равные векторы имеют одинаковые длину и направление.
• Разность векторов — это сумма уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому.
• Координаты суммы равны суммам соответствующих координат.
• Длина вектора с координатами (x; y) равна √(x² + y²).
• Скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.