3.2. Распределительные законы умножения векторов на число

Определения и обозначения

Умножение вектора на число — действие, при котором длина вектора a умножается на модуль числа α, а при отрицательном α направление меняется на противоположное; результат обозначают αa. Например, 3a направлен так же, как a, а −3a — в обратную сторону. Это действие позволяет получать векторы той же линии, но другой длины или направления.

Распределительный закон умножения вектора на число относительно сложения векторов записывают так: α(a + b) = αa + αb. Он означает, что множитель перед скобками относится к каждому вектору внутри них. Закон нужен, чтобы преобразовывать сумму векторов и вычислять её удобным способом.

Распределительный закон относительно сложения чисел имеет вид (α + β)a = αa + βa. Здесь складываются числа-множители, а вектор остаётся одним и тем же. Это правило помогает заменить один общий коэффициент суммой отдельных коэффициентов.

Противоположный вектор −b равен по длине вектору b, но направлен противоположно, поэтому b + (−b) = 0. Разность векторов определяют как a − b = a + (−b). Такая запись позволяет применять к разности те же правила, что и к сумме, не теряя знак минус.

Как это устроено

Сложение векторов по правилу треугольника означает, что начало второго вектора совмещают с концом первого, а сумма соединяет начало первого с концом второго. Если каждый вектор увеличить в одно и то же число раз, направление построенной цепочки сохраняется, а её звенья становятся αa и αb. Их сумма даёт тот же итоговый вектор, что и умножение первоначальной суммы на α. Поэтому α(a + b) = αa + αb; параллелограмм даёт тот же результат, поскольку его диагональ представляет сумму двух векторов.

Множитель α меняет каждое слагаемое одинаковым образом, а не только готовый результат суммы. Если умножить лишь первый вектор, получится αa + b, где длина второго звена останется прежней; обычно это уже не тот вектор, что α(a + b). Для отрицательного α оба слагаемых разворачиваются, и их сумма тоже разворачивается. Так геометрический смысл умножения объясняет, почему множитель должен относиться ко всем векторам в скобках.

Во втором законе складываются не векторы, а числа α и β. Сначала применить общий множитель α + β к вектору a — значит получить вектор в направлении a или противоположном ему с соответствующей длиной. Если отдельно построить αa и βa, они лежат на одной прямой, поэтому их сложение сводится к сложению направленных длин. Результат совпадает с (α + β)a, включая случаи отрицательных коэффициентов.

Разность превращается в сумму с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Поэтому при умножении разности на α число действует и на a, и на −b: α(a − b) = αa + α(−b) = αa − αb. Минус нельзя отбросить: он показывает направление второго слагаемого. В обратном направлении общий множитель выносят за скобки, например αa − αb = α(a − b).

Проверить равенство можно по координатам, потому что действия с векторами выполняются отдельно по каждой координате. Если a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂), то a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂), а αa = (αx₁; αy₁). Подстановка этих правил в левую и правую части распределительного закона приводит к одинаковым координатам. Такой способ подтверждает равенство вычислением, хотя геометрический смысл правил объясняет, почему они верны.

Распределительные законы умножения векторов на число

В таблице сначала найдите тип выражения: складываются ли векторы внутри скобок или числа перед одним вектором. Затем примените соответствующую запись, не смешивая числа и векторы. Координатная проверка особенно удобна, когда заданы конкретные координаты.

Разбор задач

Задача 1. Даны a = (2; −1), b = (−3; 4) и α = 3. Проверить равенство 3(a + b) = 3a + 3b. Вычислим каждую часть отдельно, чтобы убедиться, что они дают один и тот же вектор.

1. Сложим координаты векторов: a + b = (2 − 3; −1 + 4) = (−1; 3).
2. Умножим сумму на 3: 3(a + b) = (−3; 9).
3. Найдём правую часть: 3a = (6; −3), 3b = (−9; 12), поэтому 3a + 3b = (6 − 9; −3 + 12) = (−3; 9).

Координаты обеих частей совпали, значит, векторы равны. Проверка показывает закон на данных векторах: множитель 3 действует и на a, и на b. Ответ: равенство верно, обе части равны (−3; 9).

Задача 2. Упростить 4a − 2b + 3a + 2b и найти результат при a = (1; 2). В выражении есть противоположные слагаемые с b, поэтому сначала удобно записать вычитание как сложение с противоположным вектором. После этого можно собрать коэффициенты при одинаковых векторах.

1. Представим выражение как 4a + (−2b) + 3a + 2b.
2. Сгруппируем слагаемые: (4a + 3a) + (−2b + 2b) = 7a + 0b = 7a.
3. Подставим координаты a: 7a = (7 · 1; 7 · 2) = (7; 14).

Слагаемые с b взаимно уничтожились, потому что −2b и 2b — противоположные векторы. Осталось умножить a на сумму его коэффициентов. Ответ: выражение равно 7a, при заданном a это (7; 14).

Задача 3. Даны p = 2a − b и q = a + 3b. Выразить 2p + q через a и b, а затем найти координаты при a = (2; 1), b = (−1; 3). Сначала подставим вместо p и q их выражения, а потом раскроем скобки. Так станет видно, какие коэффициенты относятся к каждому вектору.

1. Подставим: 2p + q = 2(2a − b) + (a + 3b).
2. Раскроем скобки: 2(2a − b) = 4a − 2b, поэтому 2p + q = 4a − 2b + a + 3b.
3. Соберём подобные слагаемые: 4a + a = 5a, а −2b + 3b = b. Значит, 2p + q = 5a + b.
4. Вычислим координаты: 5a = (10; 5), поэтому 5a + b = (10 − 1; 5 + 3) = (9; 8).

Сначала преобразовали выражение символически, а координаты подставили только после упрощения. Такой порядок уменьшает количество вычислений и помогает не потерять знак у −b. Ответ: 2p + q = 5a + b = (9; 8).

Типичные ошибки

Ошибка: записывать α(a + b) = (α + b)a. Так происходит, когда вектор ошибочно воспринимают как число и пытаются складывать его с коэффициентом. Проверка проста: посмотрите на типы объектов — α и b нельзя складывать, а умножить число можно на каждый вектор в сумме.

Ошибка: писать α(a + b) = αa + b, оставляя второй вектор без множителя. Обычно ученик раскрывает скобки по памяти и забывает одно слагаемое. Подставьте простые координаты или проверьте, применён ли коэффициент к каждому члену внутри скобок.

Ошибка: терять минус при раскрытии скобок, например превращать α(a − b) в αa + αb. Это случается, если не заменить разность суммой с противоположным вектором. Запишите a − b как a + (−b): тогда видно, что второй член после умножения остаётся со знаком минус.

Ошибка: складывать координаты без учёта их мест. Например, первую координату одного вектора нельзя складывать со второй координатой другого: координаты соответствуют разным направлениям. Записывайте их в скобках и складывайте отдельно первые и отдельно вторые компоненты, а затем сравнивайте результат с ожидаемым.

Связь с другими темами

Для работы с распределительными законами нужны сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и действия с координатами. Эти правила помогают преобразовывать векторные выражения, доказывать геометрические равенства и решать задачи координатным методом. В дальнейшем они пригодятся при разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, то есть векторам, не лежащим на одной прямой, а также при работе с уравнениями прямой.

Что запомнить

• α(a + b) = αa + αb.
• (α + β)a = αa + βa.
• Разность векторов можно заменить суммой с противоположным вектором.
• Распределительные законы применяются к векторам так же, как соответствующие законы арифметики, но порядок и тип объектов менять нельзя.
• Коэффициент перед скобками умножается на каждый вектор внутри скобок.
• Справедливость векторного равенства можно проверить по координатам.
• При упрощении выражений сначала раскрывают скобки, затем собирают подобные векторные слагаемые.