3.1. Умножение вектора на число

Определения и обозначения

Произведением вектора a на число λ называют вектор, который получают умножением вектора a на это число; его обозначают λa. Число λ называют множителем. Такая запись помогает описывать векторы, длина которых изменена в заданное число раз, и выражать один вектор через другой.

Сонаправленные векторы — это ненулевые векторы, лежащие на параллельных прямых и направленные в одну сторону. Они могут иметь разную длину, но указывают в одном направлении. Это понятие нужно, чтобы описывать результат умножения на положительное число.

Противоположно направленные векторы — ненулевые векторы на параллельных прямых, которые направлены в разные стороны. Их длины также могут различаться. Это понятие позволяет точно описать, как меняется направление при умножении на отрицательное число.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю; его обозначают 0. Произведение любого вектора на число 0 является нулевым вектором. У него нет определённого направления, поэтому его нельзя считать направленным в одну из сторон.

Как это устроено

Знак множителя определяет, в какую сторону будет направлено произведение. При λ > 0 вектор λa направлен так же, как a: положительное число не переворачивает направление. При λ < 0 направление становится противоположным, потому что отрицательный множитель соответствует движению по той же прямой в обратную сторону.

Длина произведения равна |λa| = |λ|·|a|. Модуль числа показывает, во сколько раз растёт или уменьшается длина исходного вектора: например, множитель 3 увеличивает её втрое, а ½ уменьшает вдвое. Знак множителя в формулу длины не входит, потому что длина не бывает отрицательной; отрицательный знак меняет только направление.

Если λ = 1, получаем 1a = a: длина и направление остаются прежними. Это следует из того, что умножение длины на 1 не меняет её, а положительный множитель сохраняет направление. Если λ = 0, длина результата равна 0·|a| = 0, значит, получается нулевой вектор.

При ненулевом a и λ ≠ 0 векторы a и λa коллинеарны: они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Причина в том, что умножение меняет длину и, возможно, направление, но не поворачивает вектор в сторону, не лежащую на этой прямой. Если λ = 0, результат — нулевой вектор, у которого направления нет.

Если вектор задан координатами a = (x; y), то λa = (λx; λy). Каждая координата описывает изменение вдоль своей оси, поэтому для получения нового вектора множитель применяют к обеим координатам. Например, множитель 2 удваивает и горизонтальную, и вертикальную составляющие, а не только одну из них.

Направление и длина вектора λa

Сначала найдите, к какой строке относится множитель: его знак сразу подскажет направление произведения. Затем вычислите длину по соответствующей формуле. В случаях λ > 0 и λ < 0 результат равен |λ|·|a|, только для отрицательного числа модуль записан как −λ.

Разбор задач

Построение векторов 2a и −2a

Дан вектор a длины 3. Нужно построить два вектора с одинаковым множителем по модулю, но разными знаками. Поэтому длина обоих результатов будет вдвое больше длины a, а направления окажутся разными.

1. Для 2a множитель положительный, значит, направление совпадает с направлением a. Длина равна 2·3 = 6, поэтому отложите от той же точки вектор длины 6 в сторону a.
2. Для −2a множитель отрицательный, поэтому направление должно быть противоположным. Модуль множителя равен 2, значит, длина также равна 2·3 = 6.
3. Проверьте построение: векторы 2a и −2a должны лежать на одной прямой, иметь одинаковую длину и смотреть в разные стороны. Это соответствует изменению только знака множителя.

Ответ: 2a имеет длину 6 и направление a; −2a имеет длину 6 и противоположное направление.

Действия с координатами

Дан вектор a = (−2; 5). Требуется найти 3a, −a и 0a. Применяем каждый множитель к обеим координатам, а затем по знаку множителя проверяем направление и по модулю — длину.

1. Умножаем координаты на 3: 3a = (3·(−2); 3·5) = (−6; 15). Множитель положителен, поэтому направление сохраняется, а длина втрое больше длины a.
2. Для −a умножаем обе координаты на −1: −a = (2; −5). Направление противоположно исходному, а длина не меняется, так как модуль множителя равен 1.
3. Для 0a получаем (0·(−2); 0·5) = (0; 0). Это нулевой вектор длины 0, у которого нет направления.

Ответ: 3a = (−6; 15), −a = (2; −5), 0a = (0; 0).

Точка делит отрезок в отношении 2:1

Точка M делит AB так, что AM:MB = 2:1; даны A(1; −2) и B(7; 4). Отрезок состоит из трёх равных частей, из которых AM занимает две. Поэтому вектор AM равен ⅔ вектора AB, после чего координаты можно найти покоординатно.

1. Находим вектор AB: вычитаем координаты A из координат B и получаем AB = (7 − 1; 4 − (−2)) = (6; 6). Порядок вычитания важен: конечная точка минус начальная.
2. Выражаем нужный вектор: AM = ⅔AB. Умножаем обе координаты AB на ⅔ и получаем AM = (4; 4).
3. Чтобы найти координаты M, прибавляем координаты вектора AM к координатам A. Получаем M = (1 + 4; −2 + 4) = (5; 2).

Ответ: AM = ⅔AB; координаты точки M — (5; 2).

Типичные ошибки

При умножении на отрицательное число иногда меняют только длину, оставляя прежнее направление. Так происходит, если учитывать модуль множителя, но забывать его знак. Проверьте себя: при λ < 0 вектор λa должен смотреть в сторону, противоположную a.

В формуле длины могут подставить λ вместо |λ|. Тогда при отрицательном множителе получится отрицательная длина, что невозможно. Перед вычислением проверьте знак результата и используйте |λa| = |λ|·|a|; например, длина −2a равна 2|a|.

В координатах иногда умножают на число только одну координату. Ошибка возникает из-за того, что координаты записаны рядом и их воспринимают как отдельные действия. Чтобы проверить ответ, запишите λ(x; y) = (λx; λy) и убедитесь, что множитель использован в обеих координатах.

Нулевому вектору могут приписывать направление, например считать его сонаправленным с исходным. Но длина нулевого вектора равна 0, поэтому он не указывает ни в какую сторону. Проверяйте, не получился ли нулевой множитель или нулевая длина: у результата в таком случае направления нет.

Связь с другими темами

Для работы с умножением вектора на число нужно знать, что такое вектор и его длина, а также понимать, чем отличаются равные и противоположные векторы. Полезно уметь находить координаты вектора по координатам его начала и конца. Эти навыки позволяют проверять и геометрический смысл результата, и вычисления.

Умножение помогает выражать один вектор через другой, например записывать вектор части отрезка как долю всего вектора. Поэтому оно используется при делении отрезка в заданном отношении и в координатных задачах. Знак и модуль множителя позволяют отдельно установить направление и длину нужного вектора.

Что запомнить

• Произведение вектора a на число λ обозначают λa.
• При λ > 0 векторы λa и a сонаправлены.
• При λ < 0 векторы λa и a противоположно направлены.
• Длина произведения равна |λa| = |λ|·|a|.
• При λ = 0 произведение равно нулевому вектору.
• В координатах умножают на λ каждую координату вектора.