22.1 Компланарные векторы

Определения и обозначения

Компланарными называют векторы, которые можно отложить от общего начала так, чтобы все они лежали в одной плоскости. При этом сами векторы не обязаны изначально иметь общую начальную точку: их можно параллельно переносить, не меняя длины и направления. Понятие компланарности нужно, чтобы описывать взаимное расположение векторов в пространстве.

Линейная комбинация векторов a и b — выражение αa + βb, где α и β — числа. Сначала каждый вектор умножают на свой коэффициент, затем складывают полученные векторы. Коэффициенты могут быть отрицательными или равными нулю, поэтому комбинация позволяет получать разные направления в плоскости.

Разложить вектор c по двум неколлинеарным векторам a и b — значит представить его в виде c = αa + βb. Это показывает, что c составлен из частей, направленных вдоль a и b. Такое представление помогает проверить, лежит ли вектор в плоскости, задаваемой этими двумя направлениями.

Как это устроено

Чтобы проверить компланарность, удобно перенести все векторы к общему началу. Тогда вопрос сводится к тому, можно ли провести одну плоскость через их концы и общую начальную точку. Такое расположение упрощает сравнение векторов, потому что становится видна геометрическая связь между ними. Перенос не меняет сами векторы, а только делает их расположение удобнее для рассуждения.

Два неколлинеарных вектора, отложенные от одной точки, направлены по разным прямым и определяют единственную плоскость. Если умножить их на числа, получившиеся векторы останутся в этой плоскости: они направлены вдоль тех же прямых или противоположно им. Сумма двух векторов, лежащих в плоскости, также лежит в ней. Поэтому любая комбинация αa + βb остаётся в плоскости, заданной a и b.

Пусть вектор c компланарен неколлинеарным a и b. Все три вектора можно отложить от общего начала в одной плоскости, причём a и b задают её направления. В этой плоскости c можно получить сложением подходящих кратных a и b: выбираются такие коэффициенты, чтобы комбинация имела нужные длину и направление. Поэтому c представляется как αa + βb. Необходимость двух независимых направлений здесь связана с тем, что одной прямой для описания всей плоскости недостаточно.

Из записи c = αa + βb следует, что c лежит в плоскости, заданной a и b, если эти векторы неколлинеарны. Значит, все три вектора компланарны. Это удобный признак: вместо поиска плоскости достаточно получить разложение и проверить условие о неколлинеарности a и b. Обратное утверждение тоже верно: если c компланарен двум неколлинеарным векторам, его можно разложить по ним.

Условие неколлинеарности нельзя отбросить. Коллинеарные векторы задают одно направление, то есть общую прямую, а через неё можно провести множество плоскостей. Поэтому по двум таким векторам нельзя определить единственную плоскость и применять признак разложения как для пары направлений. Это не мешает самим коллинеарным векторам быть компланарными: они лежат в любой плоскости, содержащей их прямую.

Компланарность векторов и её признаки

Сначала выясните, есть ли среди двух векторов неколлинеарная пара: именно она задаёт плоскость. Затем проверьте, можно ли выразить оставшийся вектор через эту пару или установить, что он лежит в той же плоскости. Если исходные векторы коллинеарны, одного такого факта для определения плоскости недостаточно.

Разбор задач

Задача 1. Даны неколлинеарные векторы a и b и вектор c = 2a − 3b. Объясните, почему a, b и c компланарны.

1. Векторы a и b неколлинеарны, поэтому задают плоскость. Это позволяет использовать их как два направления, описывающих эту плоскость.
2. Вектор c представлен как линейная комбинация этих направлений: c = 2a + (−3)b. Умножение на числа и сложение не выводят векторы из плоскости a и b.
3. Значит, c лежит в той же плоскости, что a и b. Следовательно, все три вектора компланарны.

Ответ: векторы a, b и c компланарны.

Задача 2. В параллелепипеде выразите вектор пространственной диагонали через векторы трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Укажите, какие из полученных векторов компланарны.

1. Обозначим вершину, из которой выходят три ребра, через O, а их векторы — через a, b и c. Чтобы пройти по диагонали к противоположной вершине, можно сначала пройти по a, затем по соответствующему переносу b и по переносу c.
2. По правилу сложения векторов получаем вектор диагонали d = a + b + c. Переносы рёбер сохраняют их направления, поэтому сумма даёт путь от O к противоположной вершине.
3. Векторы a, b и c в общем случае некомпланарны: они выходят из одной вершины в трёх различных направлениях пространства. Диагональ d с любыми двумя из этих векторов также в общем случае не образует компланарную тройку; зато любые два вектора компланарны.

Ответ: d = a + b + c; любые два из векторов a, b, c и d компланарны, но тройки в общем случае некомпланарны.

Задача 3. Даны неколлинеарные векторы a и b и вектор c. Докажите, что векторы a, b, c компланарны, если c = αa + βb.

1. Так как a и b неколлинеарны, они задают плоскость. Это условие важно: оно позволяет однозначно выбрать плоскость, с которой сравнивается положение c.
2. Векторы αa и βb лежат в этой плоскости при любых действительных α и β. При отрицательном коэффициенте меняется направление слагаемого, но оно не покидает плоскость.
3. Сумма αa + βb также лежит в плоскости. По условию она равна c, следовательно, c принадлежит той же плоскости, что a и b.

Ответ: a, b и c компланарны.

Типичные ошибки

Считать, что любые три вектора компланарны, — неверно: в пространстве три направления могут не помещаться в одной плоскости. Такую ошибку допускают, перенося на пространство привычную картину с векторами на листе бумаги. Проверьте, найдётся ли общая плоскость, или докажите нужное разложение.

Применять признак разложения, не проверив неколлинеарность двух векторов, — значит не обосновать, какую плоскость они задают. Коллинеарная пара определяет лишь прямую и допускает множество плоскостей. Перед использованием признака установите, что выбранные два вектора неколлинеарны.

Компланарность не зависит от расположения начальных точек векторов. Ошибка возникает, когда векторы с разными началами принимают за некомпланарные, хотя их можно параллельно перенести. Проверьте, сохранится ли общая плоскость после переноса векторов к одной точке.

Коэффициенты в линейной комбинации не обязаны быть положительными. Иногда считают иначе, потому что представляют сложение только как движение в исходных направлениях. Отрицательный коэффициент разворачивает слагаемое, но не выводит его из плоскости; при проверке допускайте любые действительные значения.

Связь с другими темами

Для работы с компланарностью нужны понятия вектора, равных и коллинеарных векторов, а также правила сложения векторов и умножения вектора на число. Без них нельзя читать линейные комбинации и обосновывать, почему сумма остаётся в плоскости. Компланарность пригодится при разложении векторов и доказательстве геометрических утверждений в пространстве. Далее эти идеи помогают изучать некомпланарные векторы и координатный способ описания векторов.

Что запомнить

• Компланарные векторы можно расположить в одной плоскости.
• Два неколлинеарных вектора задают плоскость.
• Линейная комбинация двух векторов лежит в плоскости, которую они задают.
• Вектор, компланарный двум неколлинеарным векторам, выражается через них линейной комбинацией.
• Коэффициенты разложения могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
• Коллинеарные векторы сами по себе не задают единственную плоскость.