§ 3. Компланарные векторы

Определения и обозначения

Компланарные векторы — это векторы, для которых можно выбрать равные им представители, лежащие в одной плоскости. Представитель — конкретный отрезок со стрелкой, который задаёт вектор по длине и направлению. Это определение позволяет сравнивать векторы, даже если они расположены в разных местах пространства. Чтобы проверить компланарность, удобно перенести их к одному началу и рассмотреть концы.

Линейная комбинация векторов а и b — выражение xа + yb, где x и y — числа. Умножение вектора на число меняет его длину, а при отрицательном числе ещё и направление; сложение объединяет полученные векторы. Значит, такая запись описывает все результаты этих двух действий. Она нужна, чтобы выразить один вектор через другие.

Разложение вектора по двум векторам — представление c в виде c = xа + yb. Числа x и y называют коэффициентами разложения. Они показывают, сколько раз каждое из двух заданных направлений участвует в получении c, с учётом знака и величины. Такое представление помогает перейти от геометрического расположения к вычислениям.

Не коллинеарные векторы — два вектора, которые не лежат на одной прямой; иначе говоря, один нельзя получить из другого умножением на число. Если отложить их от общего начала, они задают два разных направления. Этих направлений достаточно, чтобы определить плоскость, поэтому неколлинеарные векторы служат её векторной основой.

Как это устроено

Для проверки компланарности можно отложить все векторы от одного начала, потому что перенос не меняет длину и направление вектора. Полученные представители будут равны исходным, а значит, по определению их расположение можно использовать для проверки. Если концы трёх векторов лежат в одной плоскости, то вместе с общим началом они образуют плоскую конфигурацию. И наоборот, если представители лежат в плоскости, их концы тоже принадлежат ей.

Два неколлинеарных вектора с общим началом определяют единственную плоскость. Через общее начало и направление первого вектора проходит прямая, а второй вектор указывает направление, которого на этой прямой нет. Эти две прямые направления лежат в одной плоскости и вместе с началом задают её однозначно. Если бы векторы были коллинеарны, оба указывали бы одну прямую, через которую можно провести множество плоскостей.

Любой вектор этой плоскости можно получить из двух выбранных направлений умножением на числа и сложением. Коэффициенты задают нужные длины и, если потребуется, разворачивают векторы в противоположные стороны. Сложение таких составляющих даёт результирующий вектор в плоскости. Поэтому линейные комбинации двух неколлинеарных векторов охватывают все направления этой плоскости.

Пусть а и b неколлинеарны, а третий вектор c компланарен с ними. Тогда все три можно расположить в плоскости, заданной а и b, и c можно разложить по этим направлениям: c = xа + yb. Обратное тоже верно: если c имеет такую запись, оба слагаемых лежат в плоскости а и b, а значит, их сумма c тоже лежит в ней. Следовательно, компланарность c с а и b равносильна его представлению как линейной комбинации этих векторов.

Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам определяются однозначно. Если xа + yb = x₁а + y₁b, то после переноса слагаемых получим (x − x₁)а + (y − y₁)b = 0. Ненулевую комбинацию двух неколлинеарных векторов нельзя получить как нулевой вектор: для этого направления должны были бы лежать на одной прямой. Поэтому x = x₁ и y = y₁, то есть разные пары коэффициентов не могут задавать один и тот же вектор.

Компланарность и разложение векторов

Таблица связывает геометрическое положение векторов с записью через линейную комбинацию. Вначале проверьте, что два вектора действительно неколлинеарны: только тогда они задают плоскость. Затем сопоставьте условие задачи с нужной строкой и используйте вывод в последнем столбце.

Разбор задач

Задача 1. Даны три вектора с общим началом. Определите, компланарны ли они, если их концы лежат в одной плоскости. Здесь уже выбраны представители с общим началом, поэтому можно напрямую применить геометрическое определение. Отдельно доказывать существование другой плоскости не требуется.

1. Смотрим на расположение концов всех трёх векторов: по условию они принадлежат одной плоскости. Общее начало также принадлежит этой плоскости, поскольку оно является концом нулевого перемещения от самого себя. Значит, все три представителя расположены в одной плоскости.

2. Сопоставляем результат с определением: для компланарности достаточно, чтобы равные данным представителям векторы лежали в общей плоскости. Здесь такими представителями служат сами данные векторы. Следовательно, условие выполнено.

Ответ: векторы компланарны.

Задача 2. Векторы а и b неколлинеарны, c = 2а − 3b. Докажите, что а, b и c компланарны. Первые два вектора задают плоскость, а равенство показывает, как получить третий из направлений этой плоскости. Нужно проследить, что операции в правой части не выводят результат за пределы плоскости.

1. Отложим а и b от общего начала. Поскольку они неколлинеарны, эти представители задают плоскость. В этой плоскости находятся также векторы 2а и −3b: умножение на число меняет длину или направление, но не выводит вектор из плоскости.

2. Сложим 2а и −3b по правилу сложения векторов. Сумма векторов, лежащих в одной плоскости, тоже лежит в ней, потому что её можно построить внутри этой плоскости. По условию сумма равна c, поэтому c принадлежит той же плоскости.

Ответ: а, b и c компланарны.

Задача 3. Векторы а и b неколлинеарны, c компланарен с ними. Известно, что c = xа + yb; по заданному чертежу или данным задачи найдите x и y. Численных данных здесь нет, поэтому точные значения зависят от конкретного чертежа или условия. Задача показывает общий способ: коэффициенты нужно читать как вклад каждого направления, а затем проверять по однозначности разложения.

1. Сначала используем компланарность: а и b задают плоскость, в которой лежит c. Поэтому c можно представить как xа + yb, причём такая пара коэффициентов только одна. Ищем её по данным о длинах, направлениях или по геометрическим соотношениям на чертеже.

2. Если вектор c построен как сумма частей, параллельных а и b, выражаем каждую часть в соответствующем направлении. Например, часть длиной в два раза больше а в его направлении даёт коэффициент 2, а часть в направлении, противоположном b и втрое длиннее, — коэффициент −3. Сверяем сумму с c, чтобы убедиться, что учли оба направления и их знаки.

3. Записываем найденное равенство c = xа + yb и читаем коэффициенты при а и b. Если разложение получено другим способом, единственность гарантирует, что значения совпадут. Без конкретного чертежа или дополнительных чисел определить численные x и y нельзя.

Ответ: x и y находят по заданным данным, записывая составляющие c в направлениях а и b; без этих данных численного ответа нет.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые три вектора компланарными, потому что для каждого можно найти какую-то плоскость. Так рассуждают, упуская, что плоскость должна быть общей для представителей всех векторов. Проверка: отложите их от одного начала и выясните, лежат ли все концы в одной плоскости.

Ошибка: применять критерий разложения, не проверив неколлинеарность первых двух векторов. При коллинеарности они указывают одно направление и не задают плоскость однозначно. Проверьте, нельзя ли получить один вектор умножением другого на число; если можно, выберите другую пару направлений.

Ошибка: путать компланарность с параллельностью. Их смешивают, потому что оба свойства описывают взаимное расположение векторов, но компланарные векторы могут иметь разные направления. Проверьте, достаточно ли им лежать в одной плоскости, или требуется общая прямая направления.

Ошибка: считать, что линейная комбинация включает только сложение векторов. Коэффициенты могут быть отрицательными, дробными или нулевыми, поэтому такое представление шире обычной суммы. Проверяйте запись xа + yb целиком: сначала учитывайте умножение каждого вектора на коэффициент, затем складывайте результаты.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны сложение векторов и умножение вектора на число: именно эти операции составляют линейную комбинацию. Полезно также уверенно различать коллинеарные и неколлинеарные векторы и понимать, какую плоскость задают два направления. Разложение по выбранным направлениям превращает геометрические рассуждения в вычисления и пригодится в стереометрических задачах. Позже та же идея помогает вводить координаты в пространстве.

Что запомнить

• Компланарность означает возможность расположить равные данным векторы в одной плоскости.
• Два неколлинеарных вектора задают плоскость.
• Любой вектор этой плоскости можно разложить по двум её неколлинеарным векторам.
• Третий вектор компланарен с двумя неколлинеарными тогда и только тогда, когда он представим как их линейная комбинация.
• Коэффициенты разложения по двум неколлинеарным векторам единственны.
• Линейная комбинация включает умножение векторов на числа и их сложение.