22.2. Разложение вектора на плоскости

Определения и обозначения

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам — представление данного вектора как суммы векторов, каждый из которых параллелен одному из двух заданных. Например, запись c = xa + yb показывает, что c разложен по векторам a и b. Такое представление помогает описывать направление вектора через два выбранных направления.

Коэффициенты разложения — числа, на которые умножают заданные векторы, чтобы получить данный вектор. В записи c = xa + yb коэффициенты — x и y. Они показывают, насколько длинными будут составляющие и в какую сторону они направлены.

Базис плоскости — пара неколлинеарных векторов, через которую можно единственным образом выразить любой вектор плоскости. Если a и b образуют базис, то для каждого вектора c существуют свои коэффициенты x и y. Базис нужен, чтобы задавать векторы числами — их координатами относительно выбранной пары.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они не подходят в качестве пары задающих векторов для плоскости, потому что направлены вдоль одного направления. Различайте коллинеарность составляющих и задающих векторов: запрет относится именно к паре, по которой раскладывают.

Как это устроено

Для разложения выбирают именно два неколлинеарных вектора, потому что их направления не совпадают и вместе охватывают плоскость. Один вектор задаёт только одну линию возможных направлений, а второй добавляет независимое направление. Если взять параллельную пару, любая их линейная комбинация останется параллельной им и не сможет дать произвольный вектор плоскости.

Геометрически составляющие строят как стороны параллелограмма, а исходный вектор — как его диагональ. От начала данного вектора проводят прямые, параллельные выбранным направлениям, а через его конец — прямые тех же направлений. Получившийся параллелограмм показывает, какие два вектора нужно сложить. Их сумма по правилу параллелограмма равна диагонали.

Разложение существует для любого вектора плоскости, потому что через начало и конец этого вектора можно провести прямые, параллельные двум выбранным направлениям. Эти прямые образуют стороны параллелограмма с нужной диагональю. Перемещая составляющие параллельно самим себе, мы можем отложить их от общего начала, не меняя их длины и направления.

Разложение единственно, потому что через конец исходного вектора проходит только одна прямая каждого из выбранных направлений. Их пересечение с прямыми через начало определяет единственный параллелограмм. Значит, однозначно определяются и обе составляющие, а вместе с ними — коэффициенты при фиксированных задающих векторах.

Коэффициент влияет и на длину, и на направление составляющей. Если он положительный, умноженный вектор сохраняет направление; если отрицательный — направляется в противоположную сторону. Модуль коэффициента показывает, во сколько раз изменяется длина: например, 3a втрое длиннее a, а −2a вдвое длиннее a, но направлен обратно.

Элементы разложения вектора по двум направлениям

В таблице показано, как соотносятся заданные векторы, составляющие и коэффициенты. Запись c = xa + yb удобно читать по частям: сначала определите направления слагаемых, затем — множители перед ними. Проверяйте, что заданные векторы неколлинеарны и что сумма слагаемых действительно даёт исходный вектор.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD выразите диагональ AC через векторы AB и AD. Нужно связать диагональ с двумя сторонами, выходящими из одной вершины. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, поэтому правило сложения векторов применимо напрямую.

1. Разобьём путь от A до C на два перемещения: сначала от A до B, затем от B до C. Тогда AC = AB + BC.
2. В параллелограмме BC = AD: эти векторы равны и сонаправлены.
3. Подставим равенство в первое выражение: AC = AB + AD.

Ответ: AC = AB + AD. Диагональ является суммой двух сторон, исходящих из вершины A.

Задача 2. Найдите коэффициенты разложения вектора c по неколлинеарным векторам a и b, если c = 3a − 2b. Сравним заданную запись с общим видом разложения c = xa + yb. Знак перед вторым вектором можно включить в его коэффициент.

1. Запишем общий вид: c = xa + yb.
2. Сопоставим с c = 3a − 2b: при a стоит число 3, а при b — число −2.
3. Проверим знаки: отрицательное значение означает, что составляющая вдоль b направлена противоположно b.

Ответ: коэффициенты разложения равны 3 и −2. Значит, x = 3, y = −2.

Задача 3. В параллелограмме ABCD точка M — середина AB. Выразите CM через AB и AD. Удобно провести путь из C в M через A, чтобы использовать известные стороны и условие о середине. При таком выборе важно учитывать направление каждого вектора.

1. Разобьём вектор: CM = CA + AM.
2. Поскольку AC = AB + AD, обратный вектор CA = −AB − AD.
3. Точка M — середина AB, поэтому AM = ½AB. Подставим: CM = −AB − AD + ½AB.
4. Соберём слагаемые с AB: CM = −½AB − AD.

Ответ: CM = −½AB − AD. Минусы показывают, что составляющие направлены противоположно AB и AD.

Типичные ошибки

Выбирать коллинеарные задающие векторы. Тогда получается только одно направление, но такую пару иногда берут из-за удобства обозначений или неверно оценивают рисунок. Проверьте, что заданные векторы не параллельны; иначе их сумма не сможет дать вектор в произвольном направлении плоскости.

Считать коэффициенты всегда положительными. Это происходит, если воспринимать коэффициент только как длину. Отрицательное число означает обратное направление, поэтому при проверке сопоставьте стрелку составляющей с направлением задающего вектора.

Путать коэффициент с длиной составляющей. Длина не бывает отрицательной, а коэффициент может быть отрицательным и задаёт также направление. Для проверки разделяйте эти понятия: длина составляющей равна модулю коэффициента, умноженному на длину задающего вектора.

Менять местами начало и конец вектора при записи суммы. Ошибка часто возникает при разбиении пути, например при переходе от CA к AC. Сверяйте направление стрелки: вектор XY начинается в X и заканчивается в Y, а противоположный ему вектор равен −XY.

Связь с другими темами

Для работы с разложением понадобятся сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число и условие коллинеарности. Это позволяет строить составляющие и правильно учитывать их направления. Разложение по базису служит основой для задания координат вектора на плоскости: коэффициенты становятся его координатами относительно выбранных векторов. Также разложение помогает выражать векторы через стороны многоугольников и применять векторный метод в геометрических задачах.

Что запомнить

• Для разложения на плоскости нужны два неколлинеарных вектора.
• Любой вектор плоскости можно представить как сумму двух векторов, параллельных заданным.
• Разложение по двум неколлинеарным векторам единственно.
• Коэффициенты разложения могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.
• Нулевой коэффициент означает, что соответствующее слагаемое равно нулевому вектору.
• Пара неколлинеарных векторов образует базис плоскости.