78. Откладывание вектора от данной точки

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, у которого отмечено направление. Вектор обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например BC⃗: первая буква указывает начало B, вторая — конец C. Длина этого вектора обозначается BC. Такое обозначение помогает не перепутать сам отрезок и то, в какую сторону по нему движутся.

Равные векторы — это векторы одинаковой длины и одного направления. Их начала могут находиться в разных точках, поэтому равные векторы не обязаны лежать на одной прямой. Это свойство позволяет переносить вектор на чертеже, сохраняя его главные характеристики, и применять его в задачах о перемещениях.

Отложить вектор от данной точки — значит построить вектор, равный заданному, так, чтобы его начало совпало с этой точкой. Например, отложить от A вектор, равный BC⃗, означает построить вектор с началом A, у которого длина и направление такие же, как у BC⃗. Это нужно, когда вектор требуется перенести в другое место, не изменяя его.

Как это устроено

Пусть нужно отложить от точки A вектор, равный BC⃗. Сначала определите направление: оно задаётся движением от B к C, а не просто прямой BC. Затем нужно сохранить длину BC. Только совпадение обоих свойств делает векторы равными: одинаковая длина сама по себе ещё не означает равенства.

Если A не лежит на прямой BC, через A проводят прямую, параллельную BC. Параллельность нужна, потому что она задаёт то же направление линии, что и исходный вектор. На этой прямой выбирают сторону, соответствующую движению от B к C, и откладывают от A отрезок длины BC. Полученный вектор имеет нужную длину и направление.

Построение можно также описать через параллелограмм ABCD: его стороны AB и CD параллельны, а BC и AD параллельны. Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AD и BC имеют одинаковую длину. Направления векторов AD⃗ и BC⃗ тоже совпадают, следовательно, AD⃗ = BC⃗. Это объясняет, почему четвёртая вершина D задаёт конец искомого вектора с началом A.

Если A лежит на прямой BC, дополнительная параллель не нужна: подходящая прямая уже проходит через A. От A откладывают длину BC по направлению от B к C. На этой прямой есть два возможных направления, но подходит только одно; выбор противоположной стороны дал бы вектор, направленный наоборот.

Построение имеет единственный результат. Из точки A луч в заданном направлении определяет, куда двигаться, а заданная длина определяет, как далеко. На этом луче можно отметить только одну точку на расстоянии BC от A, поэтому нельзя получить два разных вектора, равных одному и тому же заданному.

Откладывание вектора от данной точки

В таблице собраны случаи, которые могут встретиться при построении. В каждом из них проверьте две вещи: получился ли нужный размер и совпадает ли направление с заданным. Последние строки помогают понять, почему построение всегда даёт один и тот же результат.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор BC⃗ и точка A вне прямой BC. Постройте вектор с началом в A, равный BC⃗.

1. Через A проведите прямую, параллельную BC. Она задаёт линию, на которой будет лежать искомый вектор.
2. Определите на этой прямой направление, совпадающее с движением от B к C. Выберите соответствующий луч, а не противоположный.
3. Циркулем или линейкой отложите от A на этом луче отрезок, равный BC. Обозначьте его конец D.
4. Проверьте, что AD = BC и что направление AD⃗ совпадает с направлением BC⃗. Эти два условия вместе подтверждают равенство векторов.

Ответ: AD⃗ — искомый вектор. Построение можно представить как параллелограмм ABCD: его противоположные стороны AD и BC равны и параллельны.

Задача 2. Дан вектор BC⃗ и точка A на прямой BC. Отложите от A вектор, равный BC⃗.

1. На прямой BC найдите направление от B к C. Оно понадобится, чтобы выбрать правильную сторону от точки A.
2. От A в выбранную сторону отложите отрезок длины BC. Обозначьте его конец D.
3. Сравните построенное перемещение с исходным: оба идут по одной прямой в одну сторону и имеют одинаковую длину.

Ответ: AD⃗ = BC⃗. Если отложить отрезок от A в противоположную сторону, длина будет подходящей, но полученный вектор не будет равен BC⃗.

Задача 3. Из точки A отложены векторы AB⃗ и AC⃗, каждый из которых равен заданному вектору d⃗. Докажите, что B и C совпадают.

1. Из равенства AB⃗ = d⃗ и AC⃗ = d⃗ следует, что оба построенных вектора имеют одинаковое направление. Значит, точки B и C лежат на одном луче с началом A.
2. Длины AB и AC также равны: каждая совпадает с длиной d⃗. На одном луче от точки A на заданном расстоянии находится только одна точка.
3. Следовательно, конец первого вектора и конец второго — одна и та же точка. Значит, B и C совпадают.

Ответ: B = C, потому что равенство векторов с общим началом однозначно задаёт их конец.

Типичные ошибки

• Откладывают отрезок нужной длины в противоположном направлении. Так бывает, когда смотрят только на длину и забывают, что вектор направлен. Проверьте стрелку: движение от начала к концу должно совпадать с движением от B к C.
• Проводят через A прямую, не параллельную прямой заданного вектора. Возможно, ошибочно кажется, что достаточно провести через точку любую удобную линию. Сравните направления прямых: непараллельность означает, что полученный вектор не будет иметь нужного направления.
• Считают параллельность достаточным условием. Параллельные прямые задают направление, но на них можно отложить отрезок любой длины. Измерьте построенный отрезок и убедитесь, что его длина равна длине заданного вектора.
• Путают начало и конец вектора. Если вместо движения от B к C строить движение от C к B, получится вектор, равный CB⃗, а не BC⃗. Перед построением проговорите, от какой буквы к какой направлена стрелка, а после проверьте направление.

Связь с другими темами

Для построения нужно знать, что такое вектор, как определяют его длину и направление и при каких условиях векторы равны. При работе с параллелограммом помогают свойства параллельных прямых и противоположных сторон этой фигуры. Умение переносить вектор на плоскости пригодится при сложении и вычитании векторов, а также в задачах, где описывают перемещение из одной точки в другую.

Что запомнить

• При откладывании вектора сохраняются его длина и направление.
• Начало построенного вектора должно совпасть с заданной точкой.
• Для построения используют параллель к прямой заданного вектора.
• Вектор, отложенный от заданной точки, равен исходному вектору.
• От заданной точки можно отложить ровно один вектор, равный данному.