1.2. Сонаправленность векторов

Определения и обозначения

Вектор — это направленный отрезок. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой над ними: вектор AB направлен от начала A к концу B. Это обозначение нужно, чтобы понимать не только длину отрезка, но и направление движения.

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Их носители, то есть прямые, на которых расположены векторы, совпадают или параллельны. Такое свойство необходимо проверить перед сравнением направлений.

Сонаправленные векторы — ненулевые коллинеарные векторы, направленные в одну сторону. Их стрелки могут находиться на разных параллельных прямых и иметь разную длину. Понятие помогает сравнивать именно направление векторов, не смешивая его с величиной.

Противоположно направленные векторы — ненулевые коллинеарные векторы, направленные в разные стороны. Например, на одной прямой векторы AB и BA имеют противоположные направления. Такое определение позволяет отличить разворот стрелки от простого изменения её длины.

Как это устроено

Сравнивать направления можно только у коллинеарных векторов. Если носители не совпадают и не параллельны, векторы расположены под углом, поэтому нельзя сказать, что они указывают одну или разные стороны одной линии. Сначала проверяют именно это условие, а уже потом рассматривают стрелки.

Чтобы определить сонаправленность, один вектор можно мысленно параллельно перенести, не поворачивая и не изменяя его длину. После переноса его начало удобно совместить с началом другого вектора. Если обе стрелки смотрят в одну сторону вдоль параллельных линий, векторы сонаправлены.

На одной прямой или на параллельных прямых направление определяется положением начала и конца. Если движение от начала к концу происходит в одну сторону, векторы сонаправлены; если один движется вправо, а другой влево, они противоположно направлены. Поэтому для векторов AB и CD нужно сравнить порядок точек, а не только названия отрезков.

Длина вектора показывает расстояние между его началом и концом, но не задаёт сторону движения. Короткий и длинный векторы могут иметь стрелки, направленные одинаково. Поэтому при проверке сонаправленности длины сравнивать не нужно.

Нулевой вектор получается, когда начало и конец совпадают. У него нет отрезка с определённой стрелкой, а значит, нет и направления, которое можно было бы сравнить с направлением другого вектора. Поэтому нулевой вектор не относят ни к сонаправленным, ни к противоположно направленным.

Как сравнить направления векторов

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: сначала определите расположение носителей, затем сравните направления стрелок. Если прямые не параллельны, дальнейшее сравнение прекращают. Длина в любом случае не меняет результата.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены два ненулевых вектора на параллельных прямых. Определите, сонаправлены ли они. Точные координаты и длины для решения не нужны, потому что требуется сравнить только положение носителей и стрелки.

1. Убедимся, что прямые параллельны, поэтому векторы коллинеарны.
2. Мысленно перенесём один вектор параллельно самому себе к другому, не поворачивая стрелку.
3. Сравним стрелки: если они смотрят в одну сторону, векторы сонаправлены; если в разные — противоположно направлены.

Ответ: векторы сонаправлены только при одинаковом направлении стрелок. Одной параллельности прямых для такого вывода недостаточно.

Задача 2

Точки A, B, C и D лежат на одной прямой в указанном порядке: A—B—C—D. Сравним направления векторов AB и CD, а затем AB и DC. Порядок точек сразу показывает, в какую сторону движется каждый вектор.

1. Вектор AB направлен от A к B, то есть слева направо.
2. Вектор CD направлен от C к D, также слева направо, поэтому AB и CD сонаправлены.
3. Вектор DC направлен от D к C, то есть справа налево, поэтому AB и DC противоположно направлены.

Ответ: AB и CD — сонаправленные, а AB и DC — противоположно направленные.

Задача 3

Даны ненулевые коллинеарные векторы, один из которых в несколько раз длиннее другого. Нужно установить их сонаправленность или противоположную направленность, а затем рассмотреть случай нулевого вектора. Коэффициент увеличения длины сам по себе направление не определяет.

1. Проверим стрелки, мысленно перенеся векторы параллельно друг другу.
2. Если стрелки направлены одинаково, векторы сонаправлены, даже если длины различаются.
3. Если стрелки направлены в разные стороны, векторы противоположно направлены.
4. Если один вектор нулевой, ни один из этих терминов применять нельзя: у нулевого вектора нет направления.

Ответ: длина не влияет на выбор между сонаправленностью и противоположной направленностью; нулевой вектор выделяют отдельно.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые векторы на параллельных прямых сонаправленными. Параллельность носителей — только первое условие, поэтому проверьте, куда смотрят стрелки.

Ошибка: сравнивать длины вместо направлений. Так поступают, потому что длину легко измерить, но короткий и длинный векторы могут быть сонаправленными; мысленно перенесите их и сравните стороны движения.

Ошибка: называть векторы противоположно направленными лишь из-за стрелок, смотрящих в разные стороны. Если носители не параллельны, это не противоположная направленность; сначала проверьте коллинеарность.

Ошибка: приписывать направление нулевому вектору. У него начало и конец совпадают, поэтому стрелка не задаёт сторону; в задачах с ним нельзя использовать оба термина о направленности.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое вектор, его длина, начало и конец, а также уметь распознавать параллельные прямые. Эти знания позволяют правильно определить носители и направление стрелок.

Сонаправленность пригодится при изучении равных векторов, сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число. При таких действиях важно понимать, сохраняется направление или меняется на противоположное.

Что запомнить

• Сонаправленными бывают только коллинеарные ненулевые векторы.
• Сонаправленные векторы указывают в одну сторону.
• Противоположно направленные векторы указывают в разные стороны.
• Длины векторов не определяют их сонаправленность.
• Нулевой вектор не имеет направления.
• Для сравнения направлений можно мысленно перенести векторы параллельно самим себе.