1.1. Скалярные и векторные величины. Направленные отрезки

Определения и обозначения

Скалярная величина — величина, для задания которой достаточно числового значения. Например, массу можно указать как 5 кг, а температуру — как 20 °C. Такое понятие нужно, когда направление не влияет на описание величины.

Векторная величина — величина, для задания которой нужны число и направление. Например, перемещение можно описать не только расстоянием, но и тем, куда переместилось тело. Это помогает точно различать движения, имеющие одинаковую длину, но разные направления.

Направленный отрезок — отрезок с указанными началом и концом. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: AB⃗, где A — начало, а B — конец. Такое обозначение позволяет изобразить направление и использовать отрезок для представления векторной величины.

Длина направленного отрезка — длина обычного отрезка между его началом и концом. Она неотрицательна и не зависит от того, в каком порядке названы концы. Направление при этом задаётся отдельно — порядком начала и конца.

Как это устроено

Скалярного числа достаточно, если у величины нет направления или оно неважно для задачи. Например, фраза «температура 18 °C» полностью описывает температуру в данный момент. Для перемещения числа недостаточно: человек мог пройти 3 м на север, на юг или в сторону. Во всех случаях расстояние одинаково, но результат движения различен, поэтому перемещение является векторной величиной.

Обычный отрезок показывает только расстояние между двумя точками. Чтобы добавить направление, нужно выбрать, какая точка считается началом, а какая — концом. Если движение идёт от A к B, записывают AB⃗; стрелка направлена от A к B. При обратном порядке получают BA⃗, и это уже направленный отрезок с противоположным направлением.

Длина направленного отрезка не меняется из-за стрелки: она равна длине обычного отрезка между теми же точками. Поэтому если AB = 4 см, то длина AB⃗ тоже равна 4 см, а длина BA⃗ также равна 4 см. Различие между AB⃗ и BA⃗ состоит не в длине, а в порядке концов и, следовательно, в направлении.

Два направленных отрезка считают равными, если их длины одинаковы и они направлены одинаково. Их не требуется располагать в одном месте: один можно перенести параллельно, не меняя длины и направления. Особый случай — нулевой направленный отрезок, у которого начало совпадает с концом. Его длина равна нулю, а направление не определяется, потому что перехода между разными точками нет.

Скалярные и векторные величины и направленный отрезок

Сначала определите, о какой величине или геометрическом объекте идёт речь. Затем проверьте, нужно ли учитывать направление и какие точки являются началом и концом. Последняя строка помогает не путать длину направленного отрезка с его направлением.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён направленный отрезок AB⃗. Укажите его начало, конец и длину, если AB = 4 см. Здесь важно прочитать обозначение слева направо, а длину взять у соответствующего обычного отрезка. Стрелка дополнительно подтверждает направление от A к B.

1. Первой в обозначении стоит точка A, значит, она является началом.
2. Второй стоит точка B, значит, она является концом.
3. Длина направленного отрезка равна длине обычного отрезка AB, поэтому она равна 4 см.

Ответ: начало — A, конец — B, длина AB⃗ равна 4 см. Если записать BA⃗, длина останется 4 см, но направление изменится на противоположное.

Задача 2. Изобразите направленный отрезок, равный данному, но с началом в точке C. Равенство не означает совпадение отрезков на чертеже: нужно сохранить длину и направление. Поэтому новую фигуру строят, перенося свойства исходного отрезка в точку C.

1. Проведите через C луч в направлении, совпадающем с направлением данного отрезка.
2. Отложите на этом луче от точки C длину исходного направленного отрезка.
3. Обозначьте полученную конечную точку, например D, и поставьте стрелку от C к D.

Ответ: полученный отрезок CD⃗ равен данному, если CD имеет ту же длину и направление. Начало нового отрезка — C, а его положение может отличаться от положения исходного.

Задача 3. На рисунке даны несколько направленных отрезков. Определите, какие из них равны, и обоснуйте ответ. Одного сравнения длин недостаточно, потому что одинаковые по длине отрезки могут быть направлены в разные стороны. Нужно проверять два признака одновременно.

1. Измерьте или сравните длины всех направленных отрезков.
2. Для отрезков одинаковой длины сравните направления: от начала к концу.
3. Объедините в одну группу только те отрезки, у которых совпадают и длина, и направление.

Ответ: равными являются только направленные отрезки с одинаковой длиной и одинаковым направлением. Их расположение на рисунке само по себе не влияет на равенство.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что векторная величина задаётся одним числом. Так делают, потому что сначала замечают длину или числовое значение, но забывают о направлении. Проверьте себя: спросите, можно ли при том же числе изменить направление и получить другой результат.

Ошибка: путать AB⃗ и BA⃗. Причина — одинаковая длина обычных отрезков AB и BA. Проверьте порядок букв: первая точка всегда начало, а вторая — конец.

Ошибка: считать равными только направленные отрезки, совпадающие на рисунке. Такое решение игнорирует возможность переноса отрезка без изменения его свойств. Сравнивайте длину и направление, а не место изображения.

Ошибка: приписывать направление нулевому отрезку. Если начало и конец совпали, нельзя указать движение от одной точки к другой. Проверьте длину: при нулевой длине направление не определяется.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь обозначать точки и отрезки, измерять длины и учитывать порядок букв в обозначении. Эти навыки нужны, чтобы правильно читать запись направленного отрезка и находить его длину.

Направленные отрезки служат основой для дальнейшего изучения векторов. Позже с ними будут связаны действия над векторами и применение векторных методов при решении геометрических задач.

Что запомнить

• Скалярную величину задают числовым значением.
• Для задания векторной величины нужны значение и направление.
• Направленный отрезок имеет начало и конец.
• Порядок букв в обозначении направленного отрезка задаёт направление.
• Длина направленного отрезка равна длине соответствующего отрезка.
• Равные направленные отрезки имеют одинаковые длины и направления.
• У нулевого направленного отрезка начало совпадает с концом, и направление не определяется.