§ 1. Понятие вектора

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого выбраны начало и конец. Его обозначают двумя заглавными буквами со стрелкой сверху: AB⃗, или одной строчной буквой со стрелкой: a⃗. Такое обозначение помогает указывать не только расстояние между точками, но и направление от одной точки к другой.

Длина вектора, или его модуль, — длина соответствующего отрезка. Длину вектора AB⃗ записывают как |AB⃗|, а длину вектора a⃗ — как |a⃗|. Модуль нужен, когда требуется узнать, насколько далеко расположены начало и конец вектора; длина всегда равна нулю или больше нуля.

Нулевой вектор — вектор, у которого начало совпадает с концом. Его длина равна нулю, а направление не определено: при отсутствии перемещения нельзя указать, куда оно происходило. Нулевой вектор обозначают 0⃗, а знание о нём помогает отличать вектор нулевой длины от обычного направленного перемещения.

Равные векторы — векторы, которые направлены одинаково и имеют равные длины. Их начальные точки при этом могут быть разными. Это определение позволяет сравнивать сами перемещения, не принимая во внимание, в каком месте чертежа они изображены.

Как это устроено

Обычный отрезок сообщает, какое расстояние разделяет его концы, но не показывает, в какую сторону нужно двигаться. Например, путь длиной пять метров может вести на восток или на запад — одной длины недостаточно, чтобы различить эти перемещения. Вектор дополняет длину направлением, поэтому подходит для описания движения и других величин, у которых важны оба свойства. При сравнении перемещений нужно учитывать не только, насколько далеко они ведут, но и куда.

Чтобы построить AB⃗, сначала отмечают точку A как начало, затем проводят отрезок к точке B и ставят стрелку в сторону B. Значит, первая буква в записи всегда относится к началу, а вторая — к концу вектора. Если переставить буквы, получится BA⃗: его начало будет в B, а конец — в A. Эти векторы имеют одну и ту же длину, но направлены в противоположные стороны, поэтому считать их одним вектором нельзя.

Начальные точки равных векторов не обязаны совпадать, потому что положение на чертеже не входит в определение равенства. Представьте два одинаковых перемещения, нарисованных в разных местах: у них совпадают длина и направление, хотя начала находятся в разных точках. Если бы равенство требовало общего начала, пришлось бы переносить один вектор на чертеже, хотя само перемещение от такого переноса не меняется. Проверять нужно именно длину и направление.

У нулевого вектора начало и конец оказываются в одной точке, поэтому соответствующий отрезок имеет длину 0. Стрелка в этом случае не может задать сторону движения: из точки не произошло перемещения ни в одну сторону. Именно поэтому направление нулевого вектора не определено, хотя сам нулевой вектор используют в математических рассуждениях. При распознавании такого вектора сначала проверяют, совпадают ли его концы.

На клетчатом чертеже горизонтальную и вертикальную составляющие вектора можно принять за катеты прямоугольного треугольника, а сам вектор — за гипотенузу. Тогда его длину находят по теореме Пифагора: при составляющих m и n клеток длина равна √(m² + n²). Если известны координаты начала A(x₁; y₁) и конца B(x₂; y₂), то приращения равны x₂ − x₁ и y₂ − y₁, а длина составляет √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Квадраты приращений позволяют получить длину независимо от того, направлен ли вектор вправо, влево, вверх или вниз.

Основные понятия о векторах

Пользуйтесь таблицей, чтобы сравнивать векторы по двум признакам: длине и направлению. Если оба признака совпадают, векторы равны, даже когда они изображены в разных местах. Нулевая длина означает, что вектор особый: его направление определить нельзя.

Разбор задач

Задача 1. На прямой отмечены точки A и B. Запишите векторы, задаваемые отрезками AB и BA, и укажите, чем они различаются.

1. В записи AB⃗ первой стоит точка A, значит, она является началом, а B — концом.
2. В записи BA⃗ начало — B, а конец — A. Стрелки этих векторов направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой.
3. Расстояние между концами в обоих случаях одно и то же, поэтому длины векторов равны, но направления различаются.

Ответ: это векторы AB⃗ и BA⃗; они имеют равные длины и противоположные направления.

Задача 2. На клетчатой бумаге изображён вектор с горизонтальной составляющей 3 клетки и вертикальной составляющей 4 клетки. Найдите его длину.

1. Горизонтальный и вертикальный отрезки перпендикулярны, поэтому вместе с вектором они образуют прямоугольный треугольник.
2. Составляющие 3 и 4 клетки — катеты, а длина вектора — гипотенуза. По теореме Пифагора её квадрат равен 3² + 4².
3. Вычисляем: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, значит, длина равна √25 = 5 клеток.

Ответ: 5 клеток. Проверка разумности результата: длина диагонали больше каждого катета, но меньше суммы катетов.

Задача 3. Точки A(−2; 1) и B(4; 9). Найдите длину AB⃗ и определите, равен ли ему вектор CD⃗, если C(0; −3), D(6; 5).

1. Для AB⃗ изменения координат равны 4 − (−2) = 6 и 9 − 1 = 8. Поэтому длина AB⃗ равна √(6² + 8²) = √100 = 10.
2. Для CD⃗ изменения координат равны 6 − 0 = 6 и 5 − (−3) = 8. Обе составляющие совпали с соответствующими составляющими AB⃗.
3. Совпадение приращений означает, что векторы направлены одинаково и имеют одинаковые длины. Их начальные точки различаются, но это не мешает равенству.

Ответ: |AB⃗| = 10; векторы AB⃗ и CD⃗ равны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — признавать векторы равными только по одинаковой длине. Так делают, потому что длину легко сравнить на чертеже, а направление можно не заметить; например, AB⃗ и BA⃗ равны по длине, но направлены противоположно. Перед выводом о равенстве проверьте оба признака: длину и сторону, в которую указывает стрелка. Если хотя бы один признак различается, векторы не равны.

Вторая ошибка — считать, что у равных векторов обязательно одна начальная точка. Такое впечатление возникает, когда сравнивают их на рисунке и ориентируются на положение, а не на свойства. Сравните длины и направления: если они совпадают, разное расположение не мешает равенству. Для координатных векторов можно проверить, одинаковы ли изменения координат по горизонтали и вертикали.

Третья ошибка — путать AB⃗ и BA⃗, полагая, что перестановка букв ничего не меняет. Буквы задают порядок движения: первая обозначает начало, вторая — конец, поэтому при перестановке меняется сторона направления. Чтобы проверить запись, мысленно начните движение из первой названной точки и закончите во второй. Так легче не перепутать вектор с вектором, направленным обратно.

Четвёртая ошибка — приписывать нулевому вектору направление вправо, влево или в другую сторону. Это случается, когда любую стрелку автоматически воспринимают как указание на конкретное движение. У нулевого вектора начало и конец совпадают, а длина равна нулю, поэтому перемещения в определённую сторону нет. Проверьте, различаются ли концы: если они совпадают, направление не задано.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны знакомые понятия точки, отрезка и его длины, а также координаты точки на плоскости. Координаты позволяют вычислять длину вектора через расстояние между его началом и концом; теорема Пифагора объясняет, почему в формуле участвуют квадраты двух приращений. Позже векторы складывают и вычитают, а также используют в координатном методе. Эти инструменты помогают описывать перемещения и решать геометрические задачи.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• Вектор AB⃗ начинается в A и заканчивается в B.
• Перестановка букв в обозначении меняет направление.
• Длина вектора неотрицательна.
• Нулевой вектор имеет длину 0.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.