79. Сумма двух векторов

Определения и обозначения

Сумма двух векторов — это вектор, который получают по правилу треугольника; её обозначают a + b. Здесь a и b — исходные векторы, а знак плюс означает их сложение. Такая запись нужна, чтобы коротко указать результат действия двух векторов и затем изобразить его на чертеже.

Правило треугольника говорит: если начало второго вектора совместить с концом первого, то их сумма направлена от начала первого к концу второго. Векторы при этом образуют две стороны ломаной, а сумма заменяет эту ломаную одной стрелкой. Правило помогает понять, откуда начинать и где заканчивать вектор-результат.

Правило параллелограмма применяется, когда два вектора отложены из одной точки. Их сумму изображает диагональ параллелограмма, выходящая из этой точки. Это определение удобно, когда оба вектора уже имеют общее начало: не нужно сначала переставлять их на рисунке.

Как это устроено

Чтобы воспользоваться правилом треугольника, сначала расположите векторы один за другим: конец первого должен стать началом второго. Если векторы нарисованы отдельно, второй можно перенести параллельно самому себе. При таком переносе его длина и направление не меняются, потому что меняется только место изображения вектора, а не сам вектор.

После расположения векторов проведите стрелку от начала первого к концу второго. Она соединяет крайние точки ломаной из двух векторов, поэтому показывает то же перемещение, что и оба вектора вместе. Именно по этой причине длина и направление суммы определяются самими исходными векторами, а не тем, в каком месте листа они нарисованы.

Правило параллелограмма связано с тем же построением. Пусть оба вектора начинаются в точке O. Перенесите второй вектор к концу первого, сохранив его длину и направление: он окажется параллельным стороне параллелограмма, проведённой из конца первого. Так правило треугольника можно применить, не изменяя исходных векторов.

Получившийся параллелограмм позволяет увидеть результат сразу. Одна его сторона направлена как первый вектор, а соседняя — как второй; поэтому путь по двум сторонам соответствует последовательному сложению. Диагональ из точки O соединяет начало этого пути с его концом. Значит, она совпадает с суммой, построенной по правилу треугольника.

Эти построения подходят для любых двух векторов, даже если на чертеже они даны далеко друг от друга или направлены в разные стороны. Векторы разрешается переносить параллельно самим себе, чтобы получить нужное расположение. Важно каждый раз сохранять длину и направление: если изменить хотя бы одно из них, исходный вектор станет другим и результат сложения изменится.

Два способа построить сумму векторов

Сначала посмотрите, как расположены исходные векторы: так проще выбрать способ построения. Если они стоят последовательно, применяйте правило треугольника; если выходят из одной точки — правило параллелограмма. В обоих случаях проверьте, что стрелка суммы соединяет правильные начальную и конечную точки.

Разбор задач

Постройте сумму векторов AB и BC и укажите её.

Здесь конец первого вектора уже совпадает с началом второго: это точка B. Значит, векторы расположены так, как требует правило треугольника. Остаётся соединить крайние точки в нужном направлении.

1. Найдите начало первого вектора — точку A.
2. Найдите конец второго вектора — точку C.
3. Проведите вектор от A к C.

Ответ: AB + BC = AC. Стрелка идёт от начала первого вектора к концу второго, а не соединяет точки B и C повторно.

Из точки O отложены векторы a и b. Постройте их сумму.

Оба вектора выходят из одной точки, поэтому удобен способ с параллелограммом. Его соседние стороны должны быть параллельны и равны соответствующим исходным векторам. Тогда противоположная вершина задаст конец суммы.

1. Через конец a проведите прямую, параллельную b.
2. Через конец b проведите прямую, параллельную a; точку их пересечения обозначьте P.
3. Проведите стрелку из O в P.

Ответ: вектор OP равен a + b. Он является диагональю параллелограмма, проведённой из общего начала векторов.

Векторы a и b заданы отдельными отрезками со стрелками. Постройте a + b и объясните выбор способа.

Векторы не имеют общего начала и не расположены последовательно, поэтому сначала нужно перенести один из них. Можно выбрать правило треугольника: оно требует только совместить конец одного вектора с началом другого. Если удобнее получить общее начало, можно вместо этого применить правило параллелограмма.

1. Скопируйте b от конца a, сохранив длину и направление.
2. Соедините начало a с концом перенесённого b и поставьте стрелку к конечной точке.
3. Для проверки отложите оба вектора из одной точки и постройте параллелограмм.

Ответ: полученная стрелка — a + b. При обоих способах выйдет один и тот же вектор, если перенос выполнен без изменения длины и направления.

Типичные ошибки

Иногда за сумму принимают диагональ параллелограмма, выходящую не из общего начала векторов. Так происходит, если не отметить точку, из которой отложены обе стороны. Проверьте начало стрелки: диагональ суммы должна начинаться именно там, где начинаются исходные векторы.

При переносе вектора могут случайно изменить его длину или развернуть стрелку. Тогда в построении участвует уже не исходный вектор, поэтому и результат не будет его суммой с другим вектором. Для проверки сравните новый отрезок с исходным: они должны быть равны и направлены одинаково.

По правилу треугольника иногда соединяют концы двух векторов, хотя нужно соединить начало первого с концом второго. Ошибке способствует то, что на чертеже легко перепутать начальные и конечные точки стрелок. Перед проведением суммы найдите начало первого вектора и конец второго, а потом проверьте направление стрелки.

Ещё одна ошибка — считать, что сумма меняется, если векторы перенести в другое место. Место изображения несущественно: важны длина и направление каждого вектора. Чтобы проверить себя, перенесите векторы параллельно самим себе и сравните полученный вектор-сумму с первоначальным.

Связь с другими темами

Для сложения векторов нужно знать, что такое вектор и какие векторы называют равными. Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому один можно переносить параллельно самому себе, не меняя его. Также понадобится умение отложить вектор от заданной точки.

Сложение векторов станет основой для изучения свойств сложения и умножения вектора на число. Оно пригодится и в геометрических задачах: с помощью векторов можно связать несколько направлений и заменить последовательные перемещения одним результирующим вектором.

Что запомнить

• Сумму векторов можно построить по правилу треугольника.
• Начало второго вектора при правиле треугольника совмещают с концом первого.
• Сумма направлена от начала первого вектора к концу второго.
• Для правила параллелограмма оба вектора откладывают из одной точки.
• Сумма — диагональ параллелограмма из общего начала векторов.
• Оба правила дают один и тот же вектор.