"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Координаты в пространстве позволяют задавать положение точки с помощью трёх чисел и переводить геометрические задачи на язык алгебры. Для этого вводят три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом — точкой O. Координаты помогают находить расстояния, середины отрезков, проверять принадлежность точек плоскости или сфере, а также описывать прямые и плоскости уравнениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси Ox, Oy и Oz, имеющие общее начало O и одинаковую единицу измерения. Оси задают три направления, по которым можно описать положение любой точки. Такая система нужна, чтобы заменить пространственную фигуру набором чисел и применять алгебраические вычисления.
Координаты точки A — это упорядоченная тройка чисел A(x; y; z). Число x показывает положение точки вдоль оси Ox, y — вдоль Oy, а z — вдоль Oz; знак определяет сторону от начала координат. Тройка координат однозначно задаёт точку, поэтому две разные точки не могут иметь одинаковые координаты.
Координаты вектора AB — это тройка разностей соответствующих координат его конца и начала: AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Они показывают, на сколько единиц нужно переместиться по каждому из трёх направлений, чтобы попасть из A в B. Это обозначение удобно для нахождения длины вектора, расстояния между точками и проверки взаимного положения объектов.
Чтобы получить координаты точки A, через неё мысленно проводят прямые, параллельные координатным осям, и определяют её положение по каждому направлению. Координата не является расстоянием до оси: она может быть отрицательной, положительной или нулевой. Нулевая координата означает, что точка лежит в плоскости, образованной двумя другими осями.
Формула расстояния выводится из теоремы Пифагора. Сначала перемещение от A к B мысленно разбивают на три взаимно перпендикулярные составляющие длиной |x₂ − x₁|, |y₂ − y₁| и |z₂ − z₁|. Поэтому квадрат расстояния равен сумме квадратов этих составляющих: AB² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)².
Координаты вектора получают вычитанием, потому что важна не абсолютная позиция точек, а изменение положения от начала к концу. Если поменять направление вектора, все его координаты изменят знак. Длина вектора вычисляется так же, как расстояние между его началом и концом: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).
Середина отрезка находится усреднением координат его концов. Например, её x-координата должна быть ровно посередине между x₁ и x₂, поэтому равна (x₁ + x₂)/2; аналогично находятся две остальные координаты. Такой подход работает независимо по каждому направлению, поскольку оси взаимно перпендикулярны и не влияют друг на друга.
Уравнение сферы строится из определения сферы как множества точек, находящихся на одном расстоянии R от центра C(a; b; c). Подстановка координат точки в уравнение (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² показывает, лежит ли она на сфере. Если левая часть меньше R², точка находится внутри сферы, а если больше — вне её.
| Что нужно найти | Формула |
|---|---|
| Координаты вектора AB | AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁) |
| Расстояние между A и B | AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²) |
| Середина отрезка AB | M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2) |
| Сфера с центром C(a; b; c) | (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R² |
Сначала определите, какой объект требуется найти: вектор, длину, середину или сферу. Затем выпишите координаты в том же порядке x, y, z и только после этого подставляйте их в формулу.
Если в условии координаты обозначены другими буквами, формулы не меняются. Полезно отдельно проверить знаки разностей и убедиться, что под корнем получилась неотрицательная сумма квадратов.
Задача. Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 2; −1). Найдите координаты вектора AB, расстояние между точками и координаты середины отрезка AB. Сначала определим изменения по каждому из трёх направлений, а затем применим соответствующие формулы.
Ответ: AB = (3; 4; −4), AB = √41, M(5/2; 0; 1). Проверить результат можно по смыслу: координаты середины находятся между соответствующими координатами концов, а расстояние положительно.
Путают порядок вычитания координат. Для вектора AB нужно брать конец B минус начало A, а не наоборот; иначе получится вектор BA. Проверьте себя по направлению: при переходе от A к B первая координата должна увеличиться на 3, а не уменьшиться.
Забывают третью координату. Пространственная точка задаётся тремя числами, поэтому формула расстояния обязательно содержит три квадрата. Перед вычислениями выпишите разности по x, y и z отдельными слагаемыми.
Неверно находят середину. Иногда складывают координаты только по одной оси или делят всю тройку не на 2. Проверьте каждую координату отдельно: она должна быть средним арифметическим координат концов и лежать между ними.
Ошибаются со знаком координаты. Число −3 нельзя заменить на 3 при подстановке, хотя в квадрате знак исчезнет. Сначала аккуратно запишите скобки, а затем возводите разность в квадрат.
Координаты в пространстве продолжают идею координатной плоскости, но вместо двух чисел используют три. Формула расстояния является пространственным вариантом теоремы Пифагора, применённой к трём взаимно перпендикулярным направлениям.
Координаты векторов связаны со сложением и вычитанием векторов, а уравнение сферы — с уравнениями геометрических мест точек. Эти методы используют при изучении прямых и плоскостей, скалярного произведения и решении стереометрических задач.
§ 2. Координаты в пространстве
