§ 1. Изображение фигур с помощью проекций

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ изображения фигуры, при котором через каждую её точку проводят прямую заданного направления, а пересечение этой прямой с плоскостью изображения считают проекцией точки. Все прямые проектирования параллельны друг другу. Этот способ нужен, чтобы передавать пространственную форму на плоском чертеже.

Направление проектирования — направление параллельных прямых, вдоль которых точки фигуры проектируют на плоскость. Его выбирают до начала построения, потому что от него зависит вид изображения. Если изменить направление, проекции тех же точек могут расположиться иначе.

Проекция точки — точка пересечения прямой проектирования, проходящей через данную точку, с плоскостью изображения. Например, если через точку A провести прямую выбранного направления, её пересечение с плоскостью обозначают A′. Эта запись помогает различать исходную точку и её изображение.

Проекция фигуры — множество проекций всех точек этой фигуры на плоскость изображения. На практике часто достаточно найти проекции вершин и соединить их в нужном порядке. Такое построение позволяет изобразить многоугольники и многогранники, сохраняя важные связи между их частями.

Как это устроено

Сначала выбирают плоскость изображения и направление проектирования. Затем через каждую точку фигуры мысленно или с помощью линейки проводят прямую выбранного направления и отмечают, где она пересекает плоскость. Так получают соответствующие проекции точек, а их совокупность образует проекцию фигуры. Для многоугольника обычно начинают с вершин, поскольку прямые стороны можно восстановить, соединив их изображения.

Точка, не лежащая в плоскости изображения, обычно получает единственную проекцию. Через неё можно провести ровно одну прямую заданного направления: две разные прямые через одну точку не могут иметь одинаковое направление. Если эта прямая пересекает плоскость, место пересечения и есть проекция. Исключение — прямая проектирования параллельна плоскости: тогда пересечения может не быть, поэтому для обычного конечного изображения выбирают подходящее направление.

Прямолинейный отрезок проецируется в отрезок, потому что его точки лежат на одной прямой, а параллельный перенос вдоль направления проектирования сохраняет прямолинейность. Проекции концов задают концы получившегося отрезка, если они различны. Когда исходный отрезок параллелен направлению проектирования, прямые через все его точки попадают в одну и ту же точку плоскости. Поэтому весь отрезок изображается одной точкой.

Параллельные прямые обычно изображаются параллельными, потому что через каждую из них проходят прямые проектирования одного направления. Исходная пара прямых и направление проектирования задают параллельные плоскости либо одну общую плоскость; их пересечения с плоскостью изображения сохраняют параллельное расположение. Проекции могут совпасть, если исходные прямые лежат в общей плоскости вместе с направлением проектирования. Если прямая параллельна этому направлению, её проекция может выродиться в точку.

При параллельном проектировании сохраняются прямолинейность и параллельность, а также отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой. Это связано с тем, что проектирование действует на такой прямой одинаково по всему её участку. Но направление проецирования может сокращать отрезки по-разному и менять наклон линий, поэтому длины и величины углов в общем случае не сохраняются. Значит, прямой угол на исходной фигуре на чертеже не обязан выглядеть прямым.

Что происходит с объектами при параллельном проектировании

Пользуйся таблицей как проверкой того, какие свойства исходной фигуры можно переносить на чертёж. Для построения опирайся прежде всего на параллельность и прямолинейность, а не на видимые размеры или углы. Учитывай и особые случаи: проекция прямой или отрезка может выродиться в точку.

Разбор задач

Построение проекции треугольника

Условие. Постройте проекцию треугольника ABC, если известны проекции его вершин и направление проектирования. Обозначим данные проекции A′, B′ и C′. Направление нужно для проверки того, что точки действительно получены проецированием, но повторно строить уже данные проекции не требуется.

1. Найдите на чертеже точки A′, B′ и C′ и подпишите их, чтобы не перепутать с исходными вершинами.
2. Проведите отрезок A′B′, соединяя изображения соседних вершин исходного треугольника.
3. Соедините B′ с C′, затем C′ с A′. Порядок соединения следует исходному обходу вершин A–B–C–A.
4. Проверьте, что полученная линия замкнулась и в ней использованы все три проекции. Если две проекции совпали, соответствующая сторона может выродиться на чертеже.

Ответ. Искомое изображение — треугольник A′B′C′, полученный соединением проекций вершин в исходном порядке. Его стороны являются проекциями сторон исходного треугольника. Равенство длин или углов изображения исходной фигуре не требуется.

Проекция прямоугольника и его диагонали

Условие. Изобразите параллелограмм, который является проекцией прямоугольника, и отметьте проекции его диагоналей. Прямоугольник имеет две пары параллельных противоположных сторон, и это свойство сохраняется при проектировании. Само изображение при этом не обязано иметь прямые углы.

1. Нарисуйте параллелограмм ABCD: стороны AB и CD сделайте параллельными, а BC и AD — тоже параллельными. Не требуйте, чтобы соседние стороны образовывали прямой угол.
2. Проведите диагональ AC и отметьте точку пересечения диагоналей O.
3. Проведите вторую диагональ BD через O. У прямоугольника диагонали пересекаются и делятся пополам, а отношения отрезков на одной прямой сохраняются при проектировании.
4. Проверьте, что O является серединой и AC, и BD на изображении. Это проверка построения по свойству диагоналей, а не попытка восстановить прямые углы.

Ответ. Параллелограмм ABCD — возможная проекция прямоугольника, а AC и BD — проекции его диагоналей. Они пересекаются в общей середине O. По одному этому чертежу нельзя заключать, что его углы прямые или что противоположные стороны равны по длине.

Проекция треугольной призмы

Условие. Постройте изображение треугольной призмы по проекции основания и направлению боковых рёбер; укажите видимые и невидимые рёбра. Обозначим вершины одного основания A, B, C, второго — A₁, B₁, C₁. На изображении соответствующие вершины оснований соединяются проекциями параллельных боковых рёбер.

1. Постройте первый треугольник ABC по заданной проекции основания.
2. От вершин A, B и C проведите отрезки выбранного направления боковых рёбер. Отложите на них одинаковый шаг чертежа и получите точки A₁, B₁, C₁.
3. Соедините A₁, B₁ и C₁, чтобы получить второе основание. Его стороны соответственно параллельны сторонам первого основания, поскольку основания призмы параллельны.
4. Соедините A с A₁, B с B₁ и C с C₁. Определите, какие рёбра закрыты ближними гранями с выбранной точки зрения, и изобразите их штриховой линией.

Ответ. Призма получается из двух треугольных проекций оснований и трёх соединяющих их боковых рёбер. Видимые рёбра проводят сплошными линиями, невидимые — штриховыми. Видимость зависит от расположения наблюдателя относительно фигуры, поэтому её определяют по выбранному чертежу.

Типичные ошибки

• Считать, что длины сохраняются, — значит ожидать от чертежа точных размеров исходной фигуры. Так думают, потому что на плоском рисунке длину легко измерить линейкой, но наклон к плоскости изображения меняет длину проекции. Проверь себя: не делай вывод о размере ребра только по его изображению.

• Изображать прямой угол прямым — ошибка, потому что проектирование обычно меняет величины углов. Её допускают, принимая чертёж за точную копию фигуры, а не за способ передать её связи. Проверь себя: сохраняй прямой угол на рисунке только тогда, когда это следует из выбранного построения, а не из исходного свойства.

• Полагать, что любые непараллельные прямые останутся непараллельными, неверно: прямые, пересекающиеся в пространстве, могут получить пересекающиеся или совпадающие проекции. Ошибка возникает, если переносить на чертёж пространственное расположение без анализа проекций. Проверь себя: отдельно установи, что именно известно о проекциях данных прямых.

• Забывать, что отрезок, параллельный направлению проектирования, изображается точкой, — значит пытаться нарисовать видимую длину там, где проекции всех его точек совпадают. Обычно это происходит, когда направление проектирования не учитывают при построении. Проверь себя: сравни направление отрезка с направлением проектирования до того, как отмечать его образ.

Связь с другими темами

Для работы с проекциями нужны знания о прямой, плоскости, параллельных прямых и отрезках в пространстве. Без этих понятий нельзя определить направление построения и понять, где прямая проектирования пересекает плоскость изображения. В задачах важно также различать свойства самой фигуры и свойства её рисунка.

Проекции используют при изображении и изучении многогранников, построении чертежей пространственных фигур и решении задач по стереометрии. Они помогают показать расположение элементов на плоскости, сохраняя отношения, важные для доказательства. Умение читать такие изображения облегчает переход от пространственного условия задачи к наглядному чертежу.

Что запомнить

• При параллельном проектировании все прямые проектирования параллельны друг другу.
• Проекция точки — точка на плоскости изображения.
• Проекция отрезка — отрезок или точка.
• Параллельные прямые проектируются в параллельные или совпадающие прямые.
• На одной прямой сохраняются отношения длин отрезков.
• Длины и величины углов в общем случае не сохраняются.